[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)
첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!
제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.
테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면
과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면
과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고
로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.
그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.
급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해
가 성립합니다.
위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.
v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.
자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.
여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?
한번 더 전개하면
이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.
이렇게 다 더하면
라는 식이 나옵니다.
함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?
이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.
(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)
따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.
이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.
그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.
먼저 f(x)=e^x입니다.
f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.
f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?
이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면
나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.
네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...
다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요
마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.
대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.
하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.
뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.
여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
역시
-
뭔지 모르겠음
-
무관의 기운
-
얼버기 1
라기엔 지금 집에 온..
-
혹시 러셀 7덮 외부인 신청 언제쯤인지 아시는 분 계신가요?
-
굿나잇 0
-
생2 찍먹중입니다 저 네모친 부분에서 왜 종결코돈이 UAG가 아니라 UGA가 되어야...
-
몇번을 못넣는거냐 돌문..
-
실화냐 1
와
-
'포함될 수 있음'=포함 안될 수도 있다 ???
-
ㅇㅁㅇ
-
이제 잔다 ㅂㅂ...
-
사관학교 교수는 1
별 몇개 취급임?? 아예 다른 느낌인가
-
고작커피한캔인데 2
효과가상당하네
-
내신이 애매해서 (1.4-5) 작년에 최저 맞추고도 약수를 떨어졌습니다. 이번에...
-
가나다문제 사라져서 낼 껀덕지가 안보이긴 한데 뭔가 딱 나왔을때 무지성으로 그냥...
-
비트코인?
-
진짜 난 왜살지 3
그냥요즘 너무무기력하다 걍..하루종일 방에 누워서 온갖 익명사이트 돌아다니고 학교...
-
오래된 꿈이다..
-
중등때 애들한테 키가 내 아이큐보다 작네 ㅇㅈㄹ한적있었는데
-
진로고민 심각함 4
나는 금융쪽 깊게 파고싶은데 현실은 상경계면 스카이여야 의미있다 그래서 어차피 내가...
-
무물보 8
아무거나 질문해주세요
-
원래 저기 알림으로 뜨는 뉴스랑 데이터 싹다 읽어보는데 금요일 장 닫히고 귀찮아서...
-
연애 조언해드림 8
경력: 썸썸 편의점 완클 블루아카이브 스토리 다 봄 러브 딜리버리 엔딩 보기 등...
-
진짜 자러감 0
빠이
-
썸탈때 나만의 팁 있음 14
난 인스타 친친 안쓰는데 썸타거나 꼬시고싶은 애 있으면 걔만 친친에 넣음 글고...
-
사랑니 발치도 수술이라고 하던데 인간의 신체 일부를 함부로 마취하고 절개하고...
-
확통사탐으로 인설공대가려면 성적이 어느정도 되야하나요? 0
고3때 공부안하고 문과가서 공무원준비할려다가 갑자기 공대가 가고싶어져서 재수를 하게...
-
아무거나 해주세요
-
진짜아무거나질문받음
-
ㄹㅇ궁금하다
-
얼굴도 마음에 안들고 미소녀 소꿉친구도 없고 키도 작고 버튜버 보고 공학도 아니고 모쏠인 인생
-
수능 국어는 김동욱입니다.
-
저 오른손 62 왼손 48
-
친구 생일선물 12
피규어. 씹덕인데 좋아하겠죠?
-
ㅋ이ㅑ
-
하 힘들다 0
응응
-
미안하다 동생아 5
니 오빠 실물보다 버튜버 보는 씹덕인거 공개됐다
-
안녕
-
토함 알고싶진 않았음
-
다들 잘자요 3
-
하 ㅅㅂ 죽고 싶다 계정 바꿀 걸 날 멀로 봤을까 왜 하필 이 계정으로 tv 보는 건데
-
연애하고 싶다 15
내 손 꼬옥 잡아줄 사람이 필요해 ㅠㅠ
-
완장이 실수로 로그아웃 안하고 똥짤 달리다가 걸림 ㅋㅋㅋㅋ
-
인스타 스토리 올리시면 13
누가 봤고 누가 하트 눌렀는지 수시로 확인 하시나요?
-
가보자가보자
-
오늘 너의이름은 봤어요 12
2회차인데 솔직히 1회차(개봉 당시)때는 진짜 이게 그정도로 인기 있을...
-
금발 하고 싶다 10
서양인들 금발인 거 왤케 멋지지 탈색하고 싶다
테일러씨는 참 똑똑하구나
한무 부분적분으로 테일러급수 느낌있게 증명하기 ㄷㄷ
멋있네요
전 개인적으론 이것보단 미분을 이용한 증명이 더 멋진데... 엡실론 델타를 여기서 설명할 수는 없으니 ㅠ
이것도 올려주신다면 재밌게 읽어보겠습니다 ㅎㅎ,,
이건 차마 설명을 못하겠네요... 너무 풀어쓰기가 힘들어유...
예전에 저걸 통해서 오일러 등식 도출할때 참 수학 재미있다고 생각했었는데...
좋은글 감사합니다