수학덕후용 / 미분가능성과 도함수의 연속성 사이의 관계
이번 글은다음 링크에 게시된 질문을 보고 작성하게 되었습니다.
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3073848#c_3078455
저 역시도 수능을 공부하던 시절 미분에 대한 이해가 점차 깊어지면서 어느 순간 이 문제를 가지고 심각하게 고민한 적이 있었고요. 이 문제를 제대로 이해하면서 수학실력이 한 단계 성장할 수 있었던 거 같습니다.
수학멘토로 활동하면서도 잊을만하면 한 번씩 이 질문을 받는 것을 보면, 이 성장통을 겪는 것이 오직 저뿐만인 것은 아닌 것 같아요. 이참에 아예 FAQ로 정리해놓으면 편리하겠다 싶어서 간단히 글을 두드려보았습니다. 모쪼록 많은 학생들의 시행착오를 줄여줄 수 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
과외에 대해.. 0
안녕하세요 고2 정시준비생,, 입니다 제가 수1이 부족한데 강의를 들을지 과외를...
-
처음 일클 시작할때 항만이(항상만점)가 되기위해선 일단 시간신경쓰지말고 반응하면서...
-
커하만 놓고보면 11121이고 6모 14121 7모 13131 나옴 연대 사회학과가...
-
그중에 4명만 뽑아도 올 수능 선택과목이 언매 화작 미적 기하 확통 물리1 화학1...
-
알면 개@추 5
439 589 618 660 663 668 616 698 788 918 936...
-
여기 보내주면 감? 15
연세대학교 철학과
-
돌연변이가 더 할만한데 ㄹㅇ
-
아니진심뭐지이게말이되나 ㅈㄴ이쁘네심지어후면카메라
-
넘 늦었나........
-
민심 돌리기 들어가는 신창섭
-
수능 수학 미적으로 체크해서 공부해야는데 이미지랑 현우진중에 추천좀 0
미적분 기본기는 잇어서 미친개념 아니면 뉴런 들으려는데 추천좀
-
드릴은 너무 어렵더라구요
-
지방약 재학중이고 중학교 수학 과외 하려고하는데 얼마가 적당할까요?
-
마더텅 풀고 있는데 기출공부가 이게 맞는지 모르겠어요ㅠ 그냥 문제풀고 맞으면...
-
유대종 김동욱 수강생이 옛날에비해 아예 안보이는 수준이라 시대가 빨리 변하는구나 싶었음
-
와..ㅋㅋ 진짜 강의 계속 돌려보고 혼자 고민햐봐도 이해안가능게 너무많거 뭐라는건지...
-
평가원 6모기준 85 솔직히 6모 전까지는 영어공부를 제대로 해본적이 없는데 양심에...
-
ㅈㄱ내
-
45인게 말이되나 ㅈㄴ어려웟지얺나
-
2~3등급 정도가 풀만한거
-
국영수물지 차례대로 백분위 84/3/90/92/94 정도면 어느정도 가나요?
-
충북대 의대생인데 답변수 10만개 넘어서 압도적 1위고 질문하자마자 매크로마냥...
-
요즘 동탄 지식산업센터 어떤가요?
-
신-알 다 했고 이제 리앤로를 들을지 건너뛰고 그불만 들을지 고민이거든요 어차피...
-
작수 3이고 올해도 사설이나 교육청 모고 보면 3만 나오는데 2를 너무 받고...
-
수학 개념공부를 교과서랑 수특으로만 했는데 개념정리도 하고싶고 스킬? 같은것도...
-
내신은 2.57 건대 경영 학종 써볼지 고민되는데 50컷이 22년부터...
-
나름 그래도 상위권? 문과라 생각는 하는데 최상위권X 독재생은 거의 못 본 것...
-
모든 비공식조직은 자발적결사체이다. 이 말 맞는 말 아닌가요?
-
주변에 신경쓰이는것들도 점점 많아져서 머리가 너무 복잡하네요 안그래도 집중을...
-
일단 봄인 계산 실수가 그냥 진짜 너무 많아요 보통 틀릴 때 덧셈 뺄셈 곱셈에서...
-
미적분 공부법 3
안녕하세요 현재 미적 노베임니다ㅜㅜ 미적분에서 23번,24번,25번 이 세가지만...
-
내신으로 대충 마플시너지 했고 아직까지 기출1회독이랑 뉴런1회독 마무리...
-
방심위, 텔레그램 수사 프랑스 당국에 '딥페이크 대응' 공조 요청 2
불법 합성물 '딥페이크' 범죄가 확산하는 가운데, 방송통신심의위원회가 텔레그램...
-
외대보다 조금 덜 보이는정도 개 너무 귀여운듯
-
해구의 이동 속도는 밀도가 작은 판의 이동 속도와 같다고 알고 있는데 저 그림 위의...
-
수능 77일 남은 현시점, 여기 보내주면 간다 안간다 6
한양대학교 경제금융학부
-
군수 힘드네여 2
수험 스트레스만으로도 벅찬데 군대에서 이런저런 일들을 신경쓰면서 하려니 진짜 별거...
-
엄마가 정시에 대한 이상한 지론이 있어서 정시는 그냥 무조건 운이라고 함 그래서...
-
내가 실모에 절여저서 그런가 왤케 쉽지 1컷 43은 아닌 것 같은데
-
9모가 끝나면 0
구구절이 온다 그날도 단과갔다가 좀 쉬어야지
-
기대되는군
-
예?
-
과기대 기계시스템이랑 아주대 기계 중 어디로 쓸까요 집은 지방이라 위치는 노 상관...
-
지1 반수 질문 0
8월 초에 시작해서 개념테크트리, 기출테크트리 완강한 상태입니다. ebs도 아직 안...
-
저는언제 당첨될까요..
-
서울대학교 물리천문학부
수학코스프레할기세,, ㄴㅇㄻㄴㅇㄹ
저도 문제풀다가 혼자서 찾아다니다 증명햤었던개념이네여 ㅎㅎ 미분은가능인데 도한수가불연속!? 그래서 특이한함수가아니면 로피탈을써서 도함수의극한이 도함수의값이라고 가정하고 푸는게 쉬워졌어요
얼마 남지 않은 수능에서 좋은 점수를 받을 역량을 갖춘 학생이네요. 지금 언급한 것처럼 만약 도함수가 연속이라면
(평균값정리를 이용해서) "도함수의 좌극한"과 "왼쪽에서 잡은 접선의 기울기"(좌미분계수)는 같다
는 사실 또한 증명할 수 있습니다. :)
특이한함수가아니면 도함수 극한과 미분계수는 같다는 말씀이신가요 ??
예. 고등학교에서 배우는 99.9%의 함수(다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수)에선 이런 이상한 일이 벌어지지 않습니다. :)
2의 예에서 x가 0이 아닐때는 주어진 값이고 0에서는 함수값을 0으로 주어야 함수가 0 에서연속이고
이때 0에서 미분 가능성을 이야기할 수 있습니다.
옙. 수정했습니다. 감사합니다. XD
제가 공부하다 예전에 궁금했던 내용이네요.
잘 보겠습니다.
제 노력 때문에 누군가가 겪을 시행착오가 줄여준다면 큰 영광이죠. 감사합니다. ㅎ
함수 f (x) 가 x=a에서 미분가능하면 f '(x) x=a에서 도함수의 극한값이 존재한다
맞는 명제 인가요?
틀리지 않을까...요? x=a에서 미분가능하다는 말은 그 점에서만 따지는거지 그 근방의 경향을 알 수 없잖아요??
이번 글을 꼼꼼하게 읽어보시면 질문하신 명제가 거짓인 이유와 구체적인 반례도 확인하실 수 있습니다. XD
죄송하지만 그렇다면 도함수의 연속성이 정의되기 위해선 어떤 가정이 필요한가요??
또 궁금한 점이요 미분계수가 존재한다고해서 그점에서 도함수가 연속이 아니란 것은 알겠어요
그런데 마지막에 불연속점에서 굉장히 지1랄맞게 진동하는 형태가 의미하는것이 매우 헷갈리는데요..
도함수가 불연속이지만 원래함수가 연속일수 있다는 말씀이신가요?? 위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠
소동님 말씀대로 어떤 불연속 함수가 어떤함수의 도함수가 된다면 도함수가 존재하는 함수는 연속함수 일테고 연속하는 함수에서 도함수가 불연속일수 있다는게 이해가 잘 안가네요(x^2sin1/x는 불연속함수로써 그에 대한 예시가 안된다고 생각합니다..)
번거롭게 해드려 죄송합니다..ㅜ
Narcisista'//
"위에 x^2sin1/x에서는 원래 함수가 x=0에서 정의 되지않아요 그러니 원래 함수자체가 불연속이었던 거죠 "
이부분이 틀렸습니다. x=0 에서 정의하기 위해 함수에 x=0 일땐 f(0)=0 이다 라고 따로 정의를 했잖아요
f(x)는 x=0 에서 연속입니다. 그리고 x=0 에서 미분 가능하다는 말자체에도 f(x)가 x=0 에서 연속이라는
의미까지 포함하고 있는것이구요
감사합니다 미처 그부분을 놓쳤네요.
1. 그러면 도함수의 연속성을 정의하기 위해서 필요한 조건은 무엇인가요???
2. 그리고 위에 처럼 x=0에서만 0이라고 정의해주는것과 같이 특별한 조건이 없이 어떤 함수만 놓고 보았을때(ex 단 x=k일때 C이다 or x
1. 도함수가 연속인지 여부는 도함수를 직접 구해서 살펴보면 됩니다. (이 과정이 별로 어렵지 않아요.) 별도의 강력한 판정법은 적어도 제가 아는 범위에선 존재하지 않습니다.
다만 이계도함수가 존재하는 함수라면 도함수가 미분가능하니까, 당연히 도함수는 연속이겠죠. 고등학교에서 다루는 많은 함수(다항함수, 삼각함수, 지수-로그함수)들은 무한번 미분가능한 함수이기 때문에 도함수도 당연히 연속함수입니다.
2-1. 등호를 여러 번 써서 함수의 식을 표현하는 것을 자연스럽지 않다고 생각하시는 것 같은데요. 제가 예로 든 함수는 서로 다른 함수를 허접하게 이어붙인 것이 아니라, 극한값을 함숫값으로 준 아주 "자연스러운" 함수입니다.
2-2. 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하다는 것과 도함수가 연속이란 것은 별 연관이 없습니다. 아마 앞서 제가 단 댓글 중에 평균값정리를 언급한 것 때문에 이런 추측을 하신 것 같은데요. 주어진 것과 구하는 것을 믹스해서 이해하고 계시네요. 다시 한 번 생각해보세요. :)
본문 그림이 안떠요.. 저만 이러나
대한수학회에서 편찬한 수학백과사전에 수록된 용어를 수학용어가 아니라고 말하는 당신은 대체..
헐...도함수의 사잇값 정리
저런게 있었네요
미분가능하면서 도함수 불연속일때, 불연속인 점에서의 미분계수와 그 주위 도함수의 값이 어떤 관계가 있지 않을까 싶었는데 궁금증이 해결됐어요 감사합니다ㅎㅎ
그런게 궁금한게있는데요 x=a에서 미분가능할때
1.도함수의 a에서의 좌 또는 우극한값 존재
2.도함수의 a에서의 극한값 존재
1.이성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 2까지 성립하면 도함수의 극한값과 미분계수가 같나요?
아니면 둘다 항상성립은 아닌가요?
예를 들어 예시들어주신 함수에서는 x>0일때 f(x)=0이라두면
도함수 우극한값=0
미분계수=0
좌극한진동인데 미분가능하잖아요!
와 대박!!
좋은 자료 감사합니다!