[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지 (2편)
칼럼으로 들어가기 전에 자랑부터!
드디어 박수칠 수학 미적분1, 2 부교재 작업을 끝냈습니다 ^^v
본교재에 수록된 문제와 함께
수능/모평/학평 기출 위주의 연습문제를 추가했구요,
연습문제는 미적분1 195문항, 미적분2 179문항으로 이루어져 있습니다.
물론 연습문제 해설도 포함되어 있구요.
부교재는 아래의 링크에서 다운받을 수 있습니다.
(대단원별로 작업하다 보니
미적분1, 미적분2 각각 5개의 파일로 나뉘어 있습니다.
조만간 파일 통합 작업을 해서 미적분1, 미적분2 각각 2개의 파일로
정리하도록 하겠습니다.)
이제 자랑 끝! 본론 시작입니다.
3주 전에 아래 칼럼을 올렸었는데
읽어주신 분들의 반응이 아~주 좋았습니다.
[놓치기 쉬운 개념/유형 3가지]
그래서 같은 제목으로 한 번 더 쓰기로 했죠~
앞으로도 꺼리 생기면 종종 쓸거구요,
본문과 관련된 질문은 다른 수험생들도 참고할 수 있도록
쪽지 대신 댓글을 이용해주시길 부탁드립니다.
1. 
, 
의 의미
다음은 2014학년도 3월 학평 A형 문제입니다.
등차수열의 합과 수열의 극한이 결합된, 평범한 문제로 보이는데
의외로 틀린 학생들이 많아서 놀랬던 문제입니다.
극한의 일반항에 포함된 
에 낚여서 그런건지
틀린 학생들은 전부 
, 
을 다음과 같이 해석했더라구요.
2n에 집중한 나머지 짝수 번째 항들만 더한 것이죠.
하지만 
, 
으로부터 , 을 만들어내려면
‘대입’을 이용해야 합니다. 주어진 식에 n 대신 2n을 대입해서
으로 만들어야죠.
추가로 은
수열 
이 공차 6인 등차수열임을 이용해서
다음과 같이 계산할 수 있습니다.
(참고로 위 문제의 답은 6입니다.)
2. 두 곡선 사이의 넓이 구하기
두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이는
다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이 식을 계산하려면 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표와 함께
구간 [a, b]에서 f(x), g(x)의 대소도 알아야 합니다.
예를 들어 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 구간 (a, b)에서의 교점이 하나 뿐이고,
그 교점의 x좌표는 c이며, 구간 (a, c)에서 f(x) ≥ g(x), 구간 (c, b)에서
f(x) ≤ g(x)가 성립한다면 도형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.
그런데 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이를 구할 때
실제로 필요한 것은 두 곡선의 교점의 x좌표 뿐이고,
f(x), g(x)의 대소를 비교하는 것은 사족입니다.
왜냐하면 구간 (a, c)에서 f(x) > g(x)가 성립할 때,
다음의 식들은 모두 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로
둘러싸인 도형의 넓이를 나타내기 때문입니다.
g(x)-f(x)를 a부터 c까지 적분하면
두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로 둘러싸인 도형의 넓이에
-를 붙인 것과 같기 때문에 절댓값 기호를 씌우면 도형의 넓이가 되는 것이죠.
즉, 구간 (a, c)에 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점이 없다면
f(x)-g(x), g(x)-f(x) 가운데 어느 쪽을 a부터 c까지 적분하든
절댓값 기호만 씌우면 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 된다는 뜻입니다.
따라서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 구간 (a, b)에서의 교점이 하나 뿐이고,
그 교점의 x좌표가 c라면 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=c로
둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.
그럼 예제를 봐야죠.
다음은 2009학년도 수능 9월 모평 가형 문제입니다.
딱 봐도 곡선 개형 그리기가 상당히 어려워 보입니다.
일단 곡선과 직선 모두 원점에 대해 대칭이므로
x≥0일 때 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해서
두 배하면 된다는 것은 쉽게 알 수 있습니다.
그럼 곡선과 직선의 교점 좌표부터 구해봐야죠.
x ≥ 0일 때 곡선과 직선 교점의 x좌표가 0, 
이므로
곡선의 방정식과 직선의 방정식의 대소를 비교할 필요 없이,
도형의 넓이는 다음의 식으로 구할 수 있습니다.
3. 모집단으로부터 추출된 표본의 표본비율에 대한 확률 문제
먼저 (1)부터 살펴봅시다.
생산된 제품 가운데 5개를 선택하는 시행은
1개를 선택하는 시행을 5번 반복하는 것입니다.
그리고 공장에서 생산된 제품의 개수가 굉장히 많다고 보면
1개를 선택하는 각각의 시행은 모두 동일한 조건을 가진다고 볼 수 있습니다.
(생산된 제품이 100개라고 가정하면 불량품은 25개입니다.
그리고 시행에서 선택된 5개의 제품이 모두 불량품이라면
남은 제품 95개 가운데 불량품은 20개,
불량품의 비율은 약 21.05%입니다.
반면 생산된 제품이 100만개라고 가정하면 불량픔은 25만개입니다.
그리고 시행에서 선택된 5개의 제품이 모두 불량품이라 하더라도
남은 제품 999,995개 가운데 불량픔은 249,995개,
불량품의 비율은 약 25.00%입니다.
따라서 제품 개수가 굉장히 많다면 제품 1개를 선택하는 시행 5번은
불량품의 비율이 일정한, 동일 조건에서의 반복 시행이라 할 수 있습니다.)
그렇다면 (1)은 같은 시행을 5번 반복하는 것으로 볼 수 있고,
불량품이 2개일 확률은 다음과 같이 독립시행의 확률로 계산할 수 있습니다.
다음으로 (2)를 살펴봅시다.
(1)과 마찬가지로 생산된 제품 가운데 4800개를 선택하는 시행은
1개를 선택하는 시행을 4800번 반복하는 것이고,
각각의 시행은 동일한 조건을 가진다고 볼 수 있습니다.
따라서 불량품이 1140개 이상 1260개 이하일 확률은
다음과 같이 독립시행의 확률로 표현할 수 있습니다.
이걸 손으로 계산하려면 주금이쥬~
이럴 때는 독립시행의 결과에 대한 확률분포인 이항분포와
시행횟수가 충분히 큰 이항분포의 근사인 정규분포를 이용해서
확률을 계산해야 합니다.
1개를 선택하는 시행을 4800번 반복했을 때 불량품이 X개 뽑혔다면
확률변수 X는 이항분포 B(4800, 1/4)을 따릅니다.
그리고 시행횟수가 충분히 큰 것도 아니고 엄청나게 크기 때문에
이 이항분포는 정규분포 N(1200, 900)으로 근사할 수 있습니다.
이때, 구하려는 확률은 P(1140≤X≤1260)이고,
정규분포 N(1200, 900)으로 표준화해서 계산할 수 있습니다.
그런데 (2)는 풀이 방법이 한 가지 더 있습니다.
바로 표본비율의 분포를 이용하는 방법이죠.
공장에서 생산된 제품 전체에서 불량품이 차지하는 비율 1/4은
모비율 
에 해당됩니다.
그리고 선택된 4800개의 제품 가운데 불량품의 비율은
표본비율 
에 해당되죠.
따라서 선택된 4800개의 제품 가운데
불량품이 1140개 이상 1260개 이하일 확률은
이 1140/4800 이상 1260/4800 이하일 확률과 같습니다.
그리고 표본비율 의 평균과 분산이 각각
, 
이므로 표본비율은 정규분포 
을 따르고,
확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
이처럼 모집단으로부터 추출된 표본의 표본비율에 대한 확률은
표본의 크기가 작을 때는 독립시행의 확률로 접근하고,
표본의 크기가 충분히 클 때는 이항분포에서 정규분포로의 근사
또는 표본비율의 분포로 접근할 수 있습니다.
(참고로 문제 (1)은 (2)처럼 이항분포에서 정규분포로의 근사
또는 표본비율의 분포로 접근할 수 없습니다.
왜냐하면 정규분포나 표본비율의 분포 모두 연속확률분포인데
연속확률분포에서 확률변수가 특정한 값을 가질 확률은
0이기 때문입니다.
문제 (2)의 질문을 보면 확률변수가 특정한 값을 가질 확률이 아니라
특정 범위에 속할 확률을 물어보는 것도 이런 이유입니다.)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
바뀐 나이로 29살/원래는 30살(95년생) 입니다. 메디컬 목표로 2년 잡고...
-
기이이이이상 2
-
1번 최대 64 최소 -360 2번 77/27 3번 최대 13 최소 2 이렇게 답...
-
??
-
중대 자연2 0
기하 격자점 뭐냐?????????
-
구라고 알바생 분이 커페라떼에 피크민 그려주심 근데 내가 개...
-
ㅠㅠ 3-1 ln 부분분수 쪼개고 부분적분 하다가 끝남 ㅠ
-
지구세지랑 세지세계사조합중에 뭐가 더 괜찮을까요 아주 살짝 어그로 ㅈㅅ욤
-
가체점 쓰기 힘든데 아날로그 카메라<<이새끼 안됨? 3
진짜 진지하게
-
그만둬야지
-
수학과 2
확통 비중 큰가요? 미기는 할 줄 압니다
-
궁금해오
-
재수할까... 0
가천대 논술 준비하고 있는데 가천대 가고싶지도 않고.. 수능이 모고보다 너무...
-
안녕하세요. 이번에는 2025학년도 기회균등전형 정시 모집 인원에 대해...
-
2022학년도까지는 풀만한데 2023학년도부터 엄청 빡빡한 느낌
-
한양대 인터칼리지 수리 3문제 쉽게 나온게 맞지요? 140ㄷ1 이던데 3합7...
-
중대 면접 갈지 정해야 하는데 서성한 되면 최대한 안가고 싶은데 서성한 아무과나 될...
-
존나 딴딴하다가 궁쓰면 페이즈2 열려서 존나쎄짐 시발
-
ㅈㄱㄴ 공과대학(소방) 목표로 하고 있습니다 8%정도 과탐 가산 있던데 뭐가 더 나을까여
-
질문글들에서 뉴비냄새남 맛잇다
-
리본 뉴런 0
리본 현강 다니면서 뉴런 하루에 2강씩 듣는거 어떤가요?
-
공학으로바꾼다고 하면 다들 찬성하지 않을까? 동덕여대에서 각잡고 민형사걸면 54억...
-
ㅇㅇ 낮과쓰지말고 설경쓰셈 낮과는 개폭각 ㄴㄴ
-
그랬구나..
-
확통공부를하겠다 2
취미로
-
난 군필이라 그런진 몰라도 공익들보면 한심한거 나만그럼? 23
나도 군필이고 군대 다녀왔지만 공익은 사실상 면제나 다름없는듯 그리고 군인은 진짜...
-
서강대 유럽문화학과 떨어진 사람이 고려대 반도체학과 붙었고 꼴등 성적이 건국대 공대 성적권이였음
-
. 2
문득 내 인생은 어디로 가는 중일까 생각이 드네욥 그나저나 배터리 2퍼 남았네.. ㅎㅎ
-
28 30 뚫는 재미가 남다름 공통은 22 하나밖에 없는데 미적은 2개잖아 럭키비키
-
냥논 0
누가 인문논술 복기좀해주세요ㅜ망한거같은데
-
선택과목 얘기할때 투명인간 취급 존나당하네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 아니 미적이 망했고 확통도...
-
그남들이랑은 그냥 가성비의 5년이 맞아
-
할 이유가 없는 것 같냐… 확통 난이도 저렇게 내면 표준점수 10점은 차이나야 될...
-
평균 국어 모고등급 4 인데 강기본 독서편 다 듣고나니 3초는 뜰듯 근데 이제...
-
ㅛㅣ발
-
호주로 신혼여행 가신다 들었는데 잘 다녀오십쇼 심멘
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 평가원 1을 맞은적이 없다 ㅋㅋ
-
인문계열진학할껀데 미적선택 그리고 이번수능 5 20 22 28 30 틀림. 고민의...
-
누가 표점 더 잘 받을까요?
-
야 이 새끼야 0
오르비 끄고 공부해 지금부터, 4시간 달리는거다. 인터넷 켜면 죽는거야 알림 확인하지 마
-
지1 교육과정 바뀐다 할때 천체운동 없어져서 변별 안될거라 했는데 뭐?? ㅋㅋㅋㅋ...
-
내것도 풀어줘요 0
먼저 푸는 사람 뽀뽀해드림
-
동묘 개재밌네요 0
할아버지들 패션지림
-
한완수 공통 하 한완수 미적 하 두개만 사면되나요?
-
예쁜애들 특 1
영어,사탐을 잘하고 수학을 못함
-
중경외시 가도 2
집안에서 최저 학력임 PTSD 아..
-
연봉 1억인 사람이 세금, 국민연금, 기타 고정비 하나도 안 내고숨만 쉬고 54년...
-
진짜 개 슬픔
-
코사인법칙 규칙 세워서 적으면 틀려요? an an+1 끼인각이니까 변은 고정이잖아요...
-
젤 잘풀리는게 교수되는거고 그다음으로 잘 풀리는게 대기업 취업하는거? 그럼 안풀리면 어캐됨
본문과는 상관없는 질문이지만, 여기 밖에 여쭤볼 곳이 없어서 질문 드립니다.
서울대 8명 정도 보내는 비평준화 고 1학년 올라가는데요, 내신 대비용으로 쎈을 풀고 있는데 c단계가 너무어렵고 오래 걸려서 빼고 ,풀고 있는데 괜찮을 까요?
네 괜찮습니다~
쎈 C단계는 수능 유형이라
처음 배울 때나 내신 대비용으로 보기엔 좀 어렵죠.
고1용 쎈이라면 C단계는 수능 유형과 떨어지고
계산만 지저분할 수도 있구요.
교과서 개념/문제 끝낸 후에
쎈 B형 중심으로 유형 연습하면 효율적일거라 생각됩니다.
학교 보충교재가 있으면 그것도 빠짐없이 봐야 하구요.
출제 교사 성향이나 중간/기말 난이도 조절 때문에
모의고사 유형이 내신에 출제되는 경우도 있습니다.
이 때문에 앞에 나열한 교재들을 모두 끝낸 후에 시간이 남으면
쎈 C단계 대신 최신 교육청 모의고사 기출을 공부하는 것도
좋은 방법일 것 같습니다.
좋은 글 감사해요^^
전 재수생인데 계산이 너무 많이 부족해서 쎈을 풀고있어요 아무래도 저는 c단계를 풀어보는것이 좋겠죠??
계산 능력을 키우기 위해
쎈 C단계까지 푸는 것도 괜찮긴 한데...
수능/모평 기출로 넘어가는 것이 좋지 않을까요?
쎈 C단계는 현역을 위한 수능 유형 맛보기라 생각되거든요.
기본을 쌓는 것은 쎈 B단계 정도로 충분할 것 같구요...
수능/모평 기출로 넘어가기 전에 연습이 필요한거라면
수능특강같은 교재가 더 괜찮은 선택이라 생각됩니다.
물론 시간이 충분하면 둘 다 하셔도 되구요.
좋은 글 잘 읽었습니다 ㅎㅎ
읽어주셔서 감사합니다~ ^^
오. ! 저도 수업시간에 자주 언급하던 내용들입니다. 사실 제한시간 내에 문제풀다보면 다양한 실수가 발생하는데, 미리 그러한 예시들을 알고있다면 조금 더 예방할 수 있겠지요^^
물론입니다.
수험생들이 시행착오를 거치며 파악하기엔
한계가 많을 수 밖에 없으니까요 ^^
저런 식으로 가려울 곳을 미리미리 찾아내야 하는데
공부하는 수험생 입장에서 생각하는 것이 참 어렵네요 ㅎㅎ
쎈쎄 늘 열심히 칼럼 올리시네요ㅋㅋ
따봉누르고갑니다
귀여운 마시로님 감사합니다 ^^
칼럼 목적이...
교재에 쓸 내용 정리하고, 피드백 받으려는 것도 있고
한 번 받기 시작한 관심 놓치지 않으려는 것도 있다 보니
무리하면서 계속 쓰게되네요~ ㅎㅎ
감사합니다~ 확률이 제일 난해한데 식이 나타내는 정보가 명확하다보니 재밌는 것 같아요. 매번 좋은 정보 유익하게 얻어가요~
확통 집필 시작해서 앞으로 종종 올릴텐데
잘 부탁드립니다~ ^^
이 칼럼과 관계는 없지만 ㅠ 수능 공부를 그냥 다시 하려고 하는데요. 교과서를 보고있는데, 학습목표가 그렇게 중요한가요??
네~ 중요합니다.
해당 단원에서 무엇을 알아야하는지
일목요연하게 나와있으니까요.
단원을 공부한 다음
학습목표에서 말하는 내용이 뭔지 잘 모르면
그 단원을 제대로 이해하지 못한거라 봐도 되구요.
그런데 오랜만에 공부하시는 거라면
교과서 학습목표에서 강조하는 것이 뭔지 감이 안올겁니다.
교과서 본문 또한 핵심적인 내용만 실려있고, 설명이 간결하기 때문에
이해하기 부족할 수도 있구요.
제 개인적으론
처음 공부할 때는 기본서나 인강을 이용하고
복습 단계에서 교과서를 보는 것이 좋다고 생각합니다.
조금이라도 알고 교과서를 봐야 뭘 말하려는 건지 느낌이 잘 오니까요.
좋은 답변 감사해요 ㅎ
이항분포의 정규분포로의 근사, 모비율과 표본비율. 결국 충분히 클때 둘 다 정규분포를 따른다고 알려져있음. 학생들의 입장에선 까라면 까야하는, 즉 그냥 받아들여라하는 두가지 도구를 통해 한 문제를 다른 시각으로 바라본 그대에게 제 마음을 드림.너무 당연한 사실이지만 간과할 수 있었던 부분을 짚어주심 굳굿궅국굳굿
요즘 박수칠 수학-확통편에서 통계 단원 쓰는 중인데
저 부분들 다 집어넣는 중입니다 ㅎㅎ
책 쓰면서 또 한 번 느끼지만...
통계 단원이 문제는 쉽지만 개념이 너~무 어려워요.
하하사실 통계가...ㅎㅎ수학이라고 하기 쫌 거시기한 그런 ㅋㅂㅋ 통계학 공부하시는 학부생 분들 돌 던지실라... 뭐 어쨋든 통계자체가 고교과정에서 논하기에 알려져있다 라는 부분이 좀 많아서 생각보다 개념을 전달하는게 까다롭죠ㅎㅎ