계층 비율의 직관적 풀이

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안뇽하세요 출기능수입니다.

빵을 조각내서 먹다가

불현듯

2018 수능 사문 20번의 나름 직관적인 풀이가 떠올라서 적어봅니다. 

막 기발하거나 대단한 풀이는 아니지만 한번쯤 구경해보고 가시면 좋겠습니다

만약 들어오신 이과분들이라면 사탐이라고 그냥 가시지 마시고

이과분들도 즐기실 수 있도록 두번째 짤에 기호로 간략화시켜놨으니 한번 보고가세요.

맨 위 첫째 짤은 2018 수능 20번이고, 두번째 짤은 이 문제의 최대 관건인 계층의 비율을 구하는 과정을 제가 기호로 간략화한 퀴즈입니다.

짐작컨데 아마 대다수 분들이 다음 <풀이1>과 같이 연립방정식을 세워 푸셨을 것 같습니다.

<풀이1>

i)

A+B+C

=1.5×(B+C)+B+C

=2.5(B+C)=100

->(B+C)=40

->A=100-(B+C)=60

ii)

A'

=60×0.5=30

B'+C'

=B+2C

=100-A'=70

i)과 ii)을 연립

->B+C=40

   B+2C=70

->C=30, B=10

OR

B':C'=B:2C->B+C+C

=40+C

=100-0.5×A

=70

->C=30

모두 종합하면 A=60, B=10, C=30이다.

이렇게 간단한 수식으로 풀어도 훌륭하게 답이 나오지만 수식을 다소 덜 쓰고도 풀 수 있는 직관적인 <풀이2>를 한번 써보겠습니다.

(근데 어떤 분에겐 너무 당연하고 어떤 분에겐 너무 추상적이고 애매하다고 할 수도 있으니 아니다싶으시면 그냥 잊어주세요)

<풀이2>

(A, B, C가 각각 A', B', C'에게 자신의 숫자를 떼어 전달해준다는 느낌으로 보시면 더 좋습니다)

A'=0.5×A이므로 A'=30이다.

그런데 A 몫의 0.5만큼에 해당하는 A의 잔여분이 A'에서 마저 채워지지 않았다.

이 잔여분은 나머지의 과정(B', C'의 도출)에서 반드시 채워져야만 한다. 왜냐면 조건에 따라 A+B+C=100, A'+B'+C'=100으로 각각 합이 같기 때문이다.

B'=1×B이므로 B':B=1:1이므로 딱 맞아떨어져 B의 몫이 전부 B'에서 채워졌다. 여기서 A의 잔여분을 채울 수는 없다. B'에 무언가라도 더 들어갈 남는 자리가 없기 때문이다.

C'=2×C이니 C':C가 1:1이 아닌 1:2아니므로 여기서는 A의 잔여분을 채울 수 있다. 1:1이 아니기 때문이다. 쉽게 말해 남는 자리가 생기기 때문이다. 1:1과 1:2를 비교해볼 때 꼭 비례 1하나만큼의 남는 자리가 존재한다. 이 비례 1은 C에 해당한다. 이 비례1을 잠시만 제거해보면 C':C=1:1이 되어 딱 맞아떨어지고 더 남는 자리는 없다. 

이제 A'는 이미 계산이 끝났으며 B'와 C'에서는 더 남는 자리없이 딱 떨어지고 더 고려할 수 있는 남는 자리는 아까 잠시만 제거했던 비례1에 해당하는 C이다. A의 잔여분이 채워질 남는 자리는 여기뿐이다. 여기에 꼭 맞게 채워지면 된다. 따라서 'C=A의 잔여분'이고 A의 잔여분은 0.5×A이므로 C=30이다.

모두 종합하면 A=60, B=10, C=30이다.

길게 써서 장황해보일뿐 이해만 된다면 같은 유형의 문제를 풀 때 단 몇 초 내로 계층 비율을 구할 수 있습니다.

전 이렇게 생각하는 게 훨씬 더 쉬울 것 같아서 사문러에게 도움이 되고자 한번 끄적여봤습니다. 

오류가 있다면 지적해주시기 바랍니다.

도움이 되셨으면 좋겠습니다ㅎㅎ