e^ax sinbx 함수의 부정적분 구하는 방법과 그 확장(선형대수학을 이용한 적분방법)
보통 이 적분은 부분적분법을 써서 구하는 방법이 일반적입니다.
그런데 다음과 같이 이 함수를 직접 적분하지 않고 부정적분을 구하는 방법이 있습니다.
e^ax sinbx를 먼저 미분해보죠.
e^ax(asinbx+bcosbx) 가 되겠죠? 이번엔 e^ax cosbx를 미분해봅시다.
e^ax(acosbx-bsinbx) 네요?
아하! 둘다 sinbx, cosbx를 가지고 있네요! 그렇다면 이것들을 적당한 수를 곱해서 더해주면 e^ax sinbx를 얻을 수 있을겁니다.
그러니까,
e^ax(Asinbx+Bcosbx)를 미분한 식이 e^ax sinbx가 되는 A, B를 찾을 수 있다는 겁니다.
음 위 식의 도함수는 e^ax { (aA -bB)sinbx + (aB+bA)cosbx } 이니까 이것이 e^ax sinbx와 같기 위해서는,
aA-bB=1, aB+bA=0이어야 합니다. 이건 일차방정식이죠.
(a -b)(A)=(1)
(b a)(B) (0)
(괄호가 위아래로 이어져있습니다.)
그럼 위 행렬의 역행렬을 구해서 양변에 곱해주면 A, B를 구할 수 있어요
그 값은 A=a/(a^2+b^2), B=-b/(a^2+b^2) 겠죠? 한편 e^axcosbx는 위 일차방정식의 우변 벡터가 0, 1인 경우니까 이 경우에는 A=b/(a^2+b^2), B=a/(a^2+b^2)가 됩니다.
따라서 e^ax sinbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (asinbx-bcosbx)입니다. 그리고 e^ax cosbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (bsinbx+acosbx)입니다.
적분을 미분을 통해서 구한셈이죠.
e^ax sinbx coscx 라는 복잡한 함수의 적분을 구할 때에도 위와 같은 방법을 이용할 수 있습니다.
이때는 물론 4*4행렬의 역행렬을 구해야 겠죠.
원리가 궁금하신분들은 아래 내용을 참조하세요.
이 글의 요지는 sin, cos, exponential의 x의 계수가 서로 다른 일차곱으로 이루어진 함수는 선형대수학을 이용하면 얼마든지 부정적분을 구할 수 있다는 이야깁니다.
미분은 선형사상입니다. 한편 선형사상f의 image에 있는 원소 b의 역상은 f(a)=b인 a에 대해 a+Ker(f) 입니다. 우리가 부정적분을 하는 과정은 바로 a를 구하는 과정이었죠. (미분 operator의 kernel은 상수함수이므로 a+Ker(f)는 부정적분 + 적분상수가 되는 것입니다)
위 적분법의 아이디어는 T-invariant subspace(사상 T에 대해 불변인 부분공간)의 개념을 응용한 것입니다.
exponential, cos, sin과 같은 함수의 곱들을 기저로 갖는 벡터공간을 생각하자는 겁니다. 얘네들은 미분을 해도 결국엔 같은 집합에 속하기 마련이죠. 이 부분공간안에서 미분사상은 다름아닌 bijection이 됩니다. (1이 기저로 있지 않으므로 상수함수가 이 공간안에 존재할 수 없고, 따라서 미분함수는 injection. surjective는, dimension이 같으므로...) 종합하자면 미분사상이 기저를 어디로 보내는지를 통해서 "가역"행렬을 직접 구할 수 있으므로 원하는 함수의 부정적분을 역행렬을 곱해서 구할 수 있다는 이야기입니다.
여기서 질문(ㅋㅋㅋ...)
역행렬을 어떻게하면 쉽게 구할 수 있을까요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
3학년 내신으로 한국지리&사회문화중 고민이에요.. 2학년때 윤리는 1등급이였고...
-
심장 떨린다 ㅁㅊ ㅜㅜㅜ 학교 홈페이지로 시간표 확인하고 작년 재작년 담임쌤들...
-
마침 이번에 시대인재 그만두고 하고 싶은 일하려고 취직 원서 넣었습니다. 여러분들도...
-
보니깐 물1은 3페이지까지 얼마나 빨리푸냐싸움인거같음 0
준킬러 시간 줄이려면 걍 문제 많이 푸는수 밖에 없음?
-
대학이 과탐 두과목 다 보래
-
문과인데 사탐 4맞아버림
-
내 공부하기도 왕 지치는데 논쟁할 체력까지 있다니
-
미적 간당 1등급이면 15번 무조건 거르는게 맞는거야? 2
미적 6모 96% 8월 이투스 84점, 8월 대성 프리미엄 80점인데 15번 일단...
-
ㅈㄱㄴ
-
대학가서 발전합니다 로스쿨 얘기 나올때 공대생들 중에 내가 문과였으면 이미...
-
https://m.youtube.com/watch?v=kBE-p92dEeo
-
건대 글로컬 자율전공학부 VS 상대 천안캠 자율전공 공학학부 어떻게 생각하십니까
-
N수생인데 이번에 수시전형 좋은 게 생겨서 써보려고 함 근데 학교장 추천을 꼭...
-
처참하게 패배함 축하드립니다 ㅡ.ㅡ
-
진짜 혐오감 들 정도로 못생긴 사람이 있음 이 사람과 결혼하기 위한 조건은?
-
작년 24수능 대비 식센모 블랙 풀어봤는데 이거 어려운 실모 맞나요..?6모 2떠서...
-
요즘 n제, 실모 못 풀어서 불안해하는 애들 많은듯 4
N제, 실모 필수다, 1일1실모 해야한다 나 고3때도 있던 말인데 해마다 계속...
-
반수를 7월 말?쯤 시작해서 지구 공부 시작한지 1달 됐는데(아예 쌩노베였음)...
-
혹시 이거도 피뎊 처럼 불법임..?
-
국어:높5, 낮4 오락가락(진짜 실력은 5인것 같습니다) 영어:4(듣기에서 두개...
-
기하투투는 vs 할 친구도 없어
-
반수생인데 이제 김기련샘 아이디어 끝내가지고 기출갱각집을 살려고보니까 품절이고...
-
수학 실모나 하나 더 풀죠 수학 재밌는데
-
승자는 국어 수학 고수임 …
-
조언에는 책임이 따르는 법인데 왜 이렇게 쉽게 조언들을 할까??? 2
수험생 개개인의 상황과 목적이 다 다른법인데 뱃지좀 달았다고 아주 일반화된 진리인양...
-
노래를 듣고있을땐 다른노래가 안들리니까 오히려 집중이 더 잘되는데 안듣는 순간 온갖...
-
국어 2 가능? 0
작수 화작 5받았고 반수한지 한달 반째입니다 오전에 푼 25 6모 2점차로...
-
일단 하기가 싫음 그래서 국수 백분위보다 사탐백분위가 낮음 센츄도 99 99 2...
-
싸우지들 마시고 우리 모두 공부 열심히해서 원하는 대학 갑시다
-
잘 본 애들만 와서 인증하고 존나 쉬웠다고 하고 미끄러졌든 실력이든 망한 애들은...
-
인강강사 1
님들은 인강 강사의 인성과 평소 행실이 중요하다고 생각하나요 개인으로써 하는 행동은...
-
사회문화가 7/11이랑 11/16 뭐가 더 큰지 찾는 거임? 5
그냥 기울기 판단하면 끝 아님??
-
팩트는 14
과4면 사1 못나옴
-
수학처럼 통합해서 보면 됨
-
드릴오답행진 0
자살마렵
-
어그로 ㅈㅅ 합니다 물1 단진동 유기해도 괜찮나요? 나올 확률 있나요 시간 많이...
-
80~88진동하는데 이제와서 4공법 듣는거 오바일까요 0
그냥 n제랑 실모 양치기나 할까요?
-
스킬특강이라길래 홀짝논리 포함해서 4~5개는 있을 줄 알았는데 홀짝 논리 포함해서...
-
나도 서울서 근무하고 싶다고 대학원 안가고
-
수능 접수할때 0
사진 찍고 접수까지 하면 하루 다가나
-
4덮 경제 정도 난이도면 수능때 1,2컷 몇 나올까요 2
오늘 풀고 사이트가서 더프기준 등급컷이랑 보정?등급컷 봤는데 뭔가 좀..신빙성이...
-
수시 스나이핑 0
제가 정시여서 수시 전부 우주상향 자율전공들만 찌를건데 이번에 신설되는 자율전공들 경쟁률 빡셀까요?
-
그냥 감 유지용으로 하루에 2~3지문씩 스샤샥 풀고싶은데 실모사긴 부담스러움.....
-
지금 과탐 접수해서 2개월만에 과탐 1등급 딸깍 보여주세요 화1 필수로 넣어주시고
-
인생 최고업적이 이과선택인 사람들 많이보이네
-
극상위권분들 0
개념서 + 기출 문제집 요렇게 조합해서 5회독이상 고반복하는 것이 '코어' 지식...
-
[속보] 정부, 추석 연휴 응급실 전문의 진찰료 250% 상승 1
정부가 추석연휴 전후를 '비상응급 대응 주간'으로 지정하고, 이 기간 응급실 전문의...
-
우하하
-
사탐해서 3~4등급이라도 챙기십쇼
-
반수시작해서 공부하고 오늘 전과목 실모 처음 돌려봤는데 결과를 떠나서 문제 푸는동안...
슈뢰딩거님답게
수리 게시판에는 금지된 수학문제 질문이 아닌 글을 쓰시면서
또 수학적으로 좋은 글을 써주셨군요!
제가 방금전에 이 문제가지고 다시 생각해봤는데
cos,sin 함수들이 n번 곱해진 함수공간에서의 미분행렬을 점화식으로 찾은것 같아요!
먼저 위의 삼각함수들이 n번 곱해진 함수공간(이걸 n-TFP space(n-삼각함수곱공간)라고 부를게요 편의상...)의 기저는 2^n개입니다. 이 기저의 순서를 잘 매겨서 {v_i,n}이라 합시다. 그리고 x의 계수들을 r_i로 매길게요.
그러면 이제 n+1-TFP space의 기저를 잡는 방법이 문제가 되는데,
v_i,n+1=v_i,n*sin(r_n+1x) (i<=2^n 일때)
v_i,n+1=v_i-2^n,n*cos(r_n+1x) (i>2^n 일때)로 정의하면,
T_n(n-TFP space에서의 미분사상)에 대해서
T_n+1(v_i,n+1)=(T_nv_i,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i+2^n,n+1 (i<=2^n 일때)
=(T_nv_i-2^n,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i-2^n,n+1 (i>2^n)가 됩니다.
따라서 n에 관한 미분행렬 T의 점화식을 다음과 같이 얻습니다.
T_n+1= T_n -r_n+1*I_n(n by n 항등행렬)
r_n+1*I_n T_n
역행렬 점화식 까지 찾아냈다면 더 기분좋을 것 같은데 생각대로 안되네요 그건...
차라리 삼각함수 덧셈정리를 n번 써서 전개 하는게 나으려나 -_-...
T_2 구해서 sinaxsinbx 시험삼아 적분해봤더니 -a/(a^2-b^2)cosaxsinbx +b/(a^2-b^2)sinaxcosbx 가 나오네요