9월 나형 30번 해설 및 문제분석 TIP
9월 나형 30번 해설 및 기출분석에 대한 이야기.pdf
이번 글은 이번 9월 나형 30번 문제를 분석하면서
기출분석과 오답풀이를 할때 어떤걸 다루면 좋을지 소개하는 글입니다.
평소 올리던 글보다 비교적 짧은 호흡으로 읽을 수 있는, 좀더 구체적인 이야기를 담고 있는 글입니다.
도움이 되시길 바랍니다.
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감사합니다!!
등차수열이 일차함수라는 것이 교과서에 없다고 볼 수 있을까요?
교과서는 수열을 '자연수 전체의 집합 N에서 실수 전체의 집합 R로의 함수'로 정의하고 있으며, 함숫값 f(n)을 일반항 a_n이라 정의했으며, 등차수열의 일반항을 a_n = a + (n-1)d이라 제시했습니다.
이에 따르면 '등차수열은 일차함수'라는 개념은 특별히 어떠한 발상도 필요치 않으며, 단순히 두 개념을 연결하면 자연스럽게 알 수 있는 내용에 불과합니다.
이정도의 개념 연결을 교과서의 기본개념이라 하지 않겠다는 것은
'도함수 정적분의 값이 원함수의 함숫값 차이를 나타낸다'는 연결을 허용하지 않겠다는 것과 같으며
이는 교과개념 사이의 통합적 이해를 하지 말라는 것, 단순한 계산으로 모든 것을 풀라는 것밖에 되지 않는다고 생각합니다.
저도 허혁재님 글에 동의합니다.
등차수열이 n의 일차항의 일반항으로 표현된다는
것을 보여주는 순간부터 일차함수로의 해석이
(정의역을 자연수로 한정하지만)
가능한것이라고 보여집니다.
귀가가 늦어 재댓글이 늦어졌네요.
먼저 좋은 댓글 정말 감사드립니다.
사실 맨 처음 글을 쓸때는 일차함수를 이용하는 풀이를 적다가 고민 끝에 바꾸었는데,
글이 번잡해질 것 같아 그 과정에 대해서 자세히 언급하지 못했습니다.
저는 어떤 면에서는 댓글도 글의 일부라고 생각하는데,
덕분에 이 부분에 대해 논의가 되고 얘기가 오갈 수 있어서 좋다고 생각합니다.
수능은 실제로 교과개념을 기초로한 어느정도의 응용을 요구하는 시험이고,
이 응용이라는것이 범위가 다소 애매한 부분이 있다고 생각합니다.
앞서 언급했듯이, 사실 저도 맨 처음에는 ebs의 풀이를 읽고 '평가원에서 이런 문제를 냈나'하고 약간 갸우뚱 하기는 했지만,
일차함수 풀이가 교과과정에서 그 근거를 찾을 수 있다는 쪽으로 글을 쓰고 있었습니다.
그리고 그 근거를 구체적으로 명시하고자 교과서(지학사)를 뒤져보았습니다.
한 교과서에서는 수열을 정의역을 제한한 함수라는 관점을 명시적으로 적어놓았고,
심지어 발전문제에 임의의 1차식(n으로 적어놓은)이 등차수열이 되는 것을 확인해보고 첫째항과 공차를 구하는 문제도 있었습니다.
그래서 해당 부분을 근거로 첨부하기로 하고,
다른 교과서(교학사)에도 이에 대해 다루고 있나 찾아보았는데,
이 교과서에서는 수열이 함수라는 사실이 주석에 적혀있었습니다.
물론 일차식에 대한 얘기는 찾아보기 어려웠고요.
실제로 수열이 함수라는 사실은 고등학교 교과과정에서 강조하여 다루는 관점이 아닙니다.
수열을 정의할 때도 일부 교과서에서는 주석에서만 다룰 정도의 내용이고,
구체적인 수열을 다룰 때도 함수로서의 관점으로서 얻을 수 있는 좋은 내용에 대해 하나도 소개하고 있지 않습니다.
가령 등차수열을 일차함수로 보고 등차중항 개념이 기하학적으로 당연함을 관찰한다든가, 직선의 결정조건과 등차수열 결정조건을 연결시킨다든가, 등차수열합공식과 직선으로 둘러싸인 넓이와 연결시킨다든가, 또는 계차수열과 평균변화율을 연결시킨다든가
하는 여러 가지 좋은 예들이 있는데 교과서에서는 이런 부분에 대해서 관심을 가지고 다루고 있지 않습니다.
이러한 면에서 수열이 함수라는 사실은, 본문에 적어놓은 교과서들도 있지만, 교육과정에서 썩 관심있는 관점은 아니라고 생각이 되었습니다.
그런데 이 문제를 일차함수라는 관점을 이용하는 문제라고 한다면,
이 문제에서는 단순히 ‘등차수열을 일차함수로도 바라볼 수도 있지롱’하고 관점소개를 하는 문제가 아니라,
그것을 이용하여 사차함수와 연결하여 응용된 내용까지 풀어야 하는 문제입니다.
말씀하신것처럼 등차수열을 일차함수로 보는 것은 결코 ‘어려운’ 관점은 아닙니다.
교육과정에서 강조하여 다루는 관점은 아닙니다.
그렇기에 시험시간 내에 혼자 떠올리기는 다소 어려움이 있는 관점이라고 생각했습니다.
그러한 관점의 응용을 요하는 풀이를 평가원에서 기대했을까에 대해서 의구심이 들었습니다.
그리고 돌이켜보면 저 역시 고등학교 때 한 번도 등차수열을 일차함수로서 바라본적이 없었습니다.
과외를 하면서 이런저런 교재를 보고 또 혼자 고민하면서 알게된 관점이었습니다.
그리고 처음 접했을 때 꽤나 신선하다고 생각을 했었고요.
하지만 저의 정보력이 부족했던 것일 수도 있으니,
자문을 구해보고자 제가 현재 미적분학 연습 수업을 하고 있는 (저는 현재 수학을 전공하고 있는 대학원생입니다) 수강생분들께 여쭤봤습니다.
제가 한명 한명 전부 물어본 것은 아니고, 또 이 작은 표본으로 전체를 대표한다고 할 수는 없지만,
나름 내로라하는 대학 수학과, 통계학과, 물리학과, 천문학과 1학년 학생들이 모여있는 톡방에서,
보편적으로 알고 있을 만한 관점인가에 대해 회의적인 이야기가 나오는 관점이,
전국의 학생들이 보는 평가원 모의고사에서 요구하는 관점을 아닐 것 같다고 생각이 들었습니다.
그렇게 생각하고 연립을 해서 풀어보니,
실제로 함숫값을 –1,0,1,2로 연립을 하기 가장 좋은 숫자들로 주었고,
고차함수의 함숫값이나 미분계수 등을 알려주어 연립방정식을 푸는 것은 평가원에서 자주 물어보는 사고과정이니,
계산과정이 다소 귀찮기는 해도 연립해서 푸는 것이 정법풀이일 것 같다는 판단을 내리게 되었습니다.
하지만 저도 글을 적으면서 다소 조심스러웠던 부분이고 고민했던 부분이었습니다,
그래서 글에서도 표현을 조금 조심스럽게 써놨고요.
가령 평가원 의도가 일차함수를 이용한 풀이였고,
수능 때 이를 더 노골적으로 응용한 문제가 나올 가능성도 아예 배제할 수는 없을 겁니다.
하지만 일차함수 풀이를 보며
‘내가 이걸 원래 알아야 하는가?’ 또는 ‘이정도는 당연히 떠올릴 수 있어야 하는가?’하고
당혹감을 느꼈을 학생들이 더 많았을 것이라는 생각이 들었고,
이것은 평가원이 의도한 풀이가 아닐 것이다라는 쪽으로 힘을 실어서 글을 적게 되었습니다.
하지만 그럼에도 일차함수로 보는 관점이 평가원에서 이번년도에 밀고 싶은,
교과개념의 응용으로서 생각하고 있을 가능성을 아예 배제 할 수는 없다고 생각합니다.
제 글을 읽으신 많은 분들이 허혁재님이 달아주신 댓글도 읽고 참고를 하셨겠죠.
다시 한번 좋은 댓글 달아주셔서 감사합니다.
사차함수를 왜 x4+a3x3+a2x2+a1x+a0으로 놓는건가요? 수열에는 a0이 없지 않나요 ㅇㅅㅇ
ㅋㅋㅋa b c d e를 그냥 보기 편하게 그렇게 쓰신 거 같네요
a_0라는 표현은 함수의 극한 단원에서 다항함수를 정의할 때 등장해서, 무리 있는 표현은 아닙니다.
맨 처음에 a,b,c,d,e를 쓰려다 등차수열을 쓸때 관례적으로 사용하는 문자인 a,d와 겹쳐서 밑첨자를 이용한 문자를 썼는데,
생각해보니 수열도 관례적으로 a에 밑첨자를 붙여서 쓰는데 더군다나 여기서 등차수열이 나오는 상황이니 헷갈리셨을 수도 있겠네요
다음부터 글을 쓸때 참고를 해야겠어요 ㅠㅠ 질문 감사합니다
다른분들께서 말씀해주신 것처럼, a3,a2,a1,a0은 수열이랑은 상관이 없고, 그냥 3차항계수, 2차항계수, 1차항계수, 상수항의 의미로 적은 것입니다
현실적이다.
문제는 시간 안에 풀어야 한다는것 등차수열을 일차함수 관점으로 안보고 쌩으로 제한시간 내에 정확하게 계산하는게 현실적으로 가능하다 생각하십니까
네.. 가능합니다.
가능했습니다
저도 분명 연립하기에 식 개수가 다소 많다고 생각이 들기는 하지만,
연립하기에 비교적 좋은 값들을 주었고 (-1,0,1,2)
무엇보다 교과과정을 충실히 따라서 일차함수의 관점을 미리 접해보지 못한 학생이 시험시간에 해당 관점을 직접 떠올려서 푸는 것보다는 더 현실적이라고 생각이 되었습니다
그냥 직선 ax+b랑 사차함수의 교점으로 둬서 풀었는데 대단하시네...
확실히 수능 생각하지 않고 그냥 수학문제였다고 한다면 이게 깔끔한 풀이라고는 생각합니다...ㅎㅎ
그런데 혹시 등차수열와 일차함수를 연결짓는 생각을 그 전에 미리 접해보신 적이 있나요?
지나가던 중 댓글남깁니다. 전 등차와 일차함수 연결짓는 문제를 사설에서 접해본적이 있었습니다 그래서 빠르게 풀어냈구요 그렇지만 접해보지 않았다면 생각해내기 어려웠을것 같아요 같은 관점에서 매롱히히님 풀이가 일반적으로 생각할 수 있는 풀이가 아닐까 생각합니다
엄... 그렇다고 볼 수도 있고 아니라고 볼 수도 있어요... 확통에서 "한직선 위에 있는 자연수..." 이거는 등차수열이니까 경우 나눠서 풀라는 게 생각나서 풀었거든요
그리고 등차수열을 일차함수이랑 연결해서 생각 안 하면 수열의 극한하고 함수의 극한 개념 이해가 힘들지 않나요...?? 함수는 연결돼 있어서 어떤 실수에 대해서 극한을 보내기도 하는데, 수열은 자연수만 정의역이어서 띄엄띄엄이니까 무한대로만 극한을 보내는 거고... 하면서 이해했는뎅....
말씀들어보니 명시적으로 '등차수열은 일차함수다'라는 내용을 접하신 적은 없으신 것 같은데 센스가 좋으신 것 같아요 ㅎㅎ
수열의 극한쪽을 볼 생각은 못 했는데 달아주신 댓글을 읽고 생각을 해보니 설득력이 있는 말씀인것 같아요
실제로 함수의 극한을 다루기 전에 수열의 극한부터 다루는 단원순서가, 이해를 돕기위한 연결고리의 역할이 있는 것으로 알고 있고요
말씀 듣고 지학사 교과서를 뒤져보니 위 이미지 같은 내용도 있고요
이쯤되면 명시적으로 '등차수열은 1차함수다'라고 말하는 것을, 교과서에서 의도를 가지고 숨긴것 같은 느낌인데,
확실히 등차수열을 일차함수로 바라보는데 도움이 될만한 간접적인 요소들은 군데군데 있는 것 같습니다
댓글 감사합니다
이과에도 미분을 뉴턴식으로 바라볼 수 있고 라이프니츠식으로 바라볼 수 있는 문제가 4문항정도 출제된걸로 아는데 4문항 중 3문항은 두가지 방법이 시간적으로 큰차이가 없었고 한문항은 빈칸형식으로 만들어진 문제라 문제에서 라이프니츠식으로 바라보라고 설계도를 대놓고 짜줬습니다. 제가 생각한것은 평가원은 라이프니츠식으로 바라보는것을 상당히 중요하다고 여기지만 교과서에선 합성함수 미분,매개변수 미분,음함수 미분을 증명하는데에만 쓰이고 그외엔 예제엔 나오지 않더군요. 문제 내시는 출제자 입장에선 정말 강조하고 싶지만 교과과정에서 어긋난다는 의견이 존재할 수 있어 항상 교과서에 명시적으로 강조한 개념으로도 문제없이 풀수 있게 문제를 세팅해놓으신 것 같더라구요. 이번 문제도 출제자 입장에서는 등차수열이 정의역이 이산적인 함수의 모양을 취하며 그 수열의 특성들을 함수와 결부시켜 이해하길 강조하고 싶었지만 여러가지 조건에 의해 문제를 이렇게 만들지 않았나 싶습니다. 개인적으로는 이러한 모호한 문제들이 출제되지 않았으면 합니다. 어떤 입장도 틀렸다고 섣불리 말하기가 힘든것 같습니다.
하지만 모의평가도 아닌 11월 수능에 이런 문제가 나온 사례가 있다보니 학생들 입장에서 대비하시는게 맞을 것 같습니다
수능 출제 원칙 때문에 교과서에서 명시적으로 강조한 개념으로 풀수 있게 내기는 하지만, 출제자 취향에 의해 다른 관점을 겸비하고 있으면 보다 쉽게 풀릴만한 문제의 선례가 존재한다는 말씀이신것 같군요.
좋은 댓글 정말 감사합니다.
제가 좀 더 균형잡힌 생각을 할 수 있는데 큰 도움이 된것 같습니다.
글을 이제 봤는데, 평가원은 조건을 등차수열 자체로서 바라보든 일차함수로서 바라보든 별 상관 없다 생각한 것 같기도 합니다. 일차함수로서 바라보는 게 싫었다면 문제 자체가 검토 중에 폐기됐을 것이고, 일차함수로 보는 게 중요했다면 단순 연립을 못 할 정도로 까다롭게 숫자를 내든지 하면 됐으니까요. 평가원의 정확한 출제 의도가 어떤 방향인지는 모르겠지만, 어떤 풀이든 평가원이 생각했던 시나리오 안에 들어가 있는 건 맞는 것 같아요.
감사인사가 늦었지만 좋은 댓글 정말 감사드려요
댓글을 읽어보니 출제자는 두 풀이를 다 염두하고 출제를 했을 수 있겠다는 생각이 듭니다