수학 칼럼(8)-초월함수의 극한의 근사

우선 저는 근사로 푸는 걸 좋아하지 않습니다.[교과 과정으로 해결하자!]

그런데 워낙 근사에 대한 질문이 많아서 정리해 보도록 하겠습니다.

초월함수를 다항함수로 바꿔서[테일러 급수 중 a=0인 경우인 매클로린 급수]  푸는 걸 근사라고 하기에 저는 그냥 교체해서 풀기, 바꿔치기 등으로 부릅니다.

이럴때 교체가 되고 어떨 때는 이렇게 고친 뒤에 교체해야 되고 저런 경우는 아예 교체가 되지 않는거 아니냐? 등의 질문을 많이 받아 왔습니다.

저의 대답은 이렇습니다.

*질문자가 교체를 잘못 했을 뿐, 또 교체하고 나면 계산이 더 복잡해 질 뿐 교체했는데 함수가 수렴하지 않는 (x->0 일 때, sin(1/x)을 1/x로 교체하면 수렴하지 않음) 경우를 제외하고는 모두 그 상황에서 바로 교체해도 극한을 구할 수 있다. 그런데 고등과정에서 sinx,tanx, e^x-1, ln(1+x)을 x로 1-cosx를 1/2x^2 으로 교체로만으로는 모든것이 해결 안 되고 다음 단계까지 적용시키면 된다.(거의 대부분) *

이왕에 교체로 문제를 볼려면 매클로린 급수의 두단계 까지는 적용하는게 좋겠습니다.

두 단계라 함은 다음과 같습니다.

다음 문제를 보겠습니다.

교육청 기출 문제입니다. 그냥 무난하게 풀어가면 됩니다. 이 문제를 함수 교체(근사)로 풀어 보겠습니다.

식 정리하지 않고 바로 교체하는 풀이로 진행해 보겠습니다.

우선 sinx를 x로 1-cosx=1/2 x^2으로 교체하면

별로 닮지도 않은 것들을 닮았다고 우기는 경우가 되서 답이 안나오는 경우입니다. 그래서 근사로 풀지 않는걸 추천한다고 합니다.

식을 정리하다 보면 닮지 않은게 많이 닮은 경우가 될 수도 있는데 그 때는 교체해도 된다고 합니다.

위의 바른 풀이의 마지막 줄에서는  sinx를 x로 1-cosx=1/2 x^2으로 적용해도 된다는 얘기지요. 그런데 그렇게 정리할거면 굳이...

그럼 sinx를 x-1/6x^3으로 1-cosx=1/2 x^2으로 교체해 보겠습니다.(하나만 두 단계로 다른 하나는 한단계로 교체)

이 경우는 한 놈은 닮은게 맞는데 다른 한 놈은 닳은게 아닌 경우입니다. 그래서 계산이 안되는 경우입니다. 교체를 할려면 같은 단계로 진행해야 합니다. sinx을 두 단계로 진행했기에 1-cosx 도 1/2x^2-1/24x^4으로 교체하면 계산이 됩니다.

그런데 분자, 분모가 다항식으로만 있더라도 계산이 너무 복잡합니다. 계산 결과는 울프람님의 도움으로

안되는게 아니라 되는데 더 복잡할 수도 있습니다.

그런데 확실히 바로 교체하면 간단하게 풓리는 문제가 있습니다.(많죠..)

그래서 이 유혹?에서 벗어나기 힘든거 같습니다.

다음 문제처럼 식 정리가 곱과 나눗셈 행태로 다 정리되어 있는 식은 두 단계로 교체를 하면 쉽긴 합니다.

교육과정으로는 평균값의 정리를 이용해야 됩니다. 상당히 복잡하지만 평균값의 정리로 푸는 그 자체가 수학적 사고력 향상에 도움되기에 꼭 그렇게 풀어보도록 합시다.(식 정리하고 슬쩍 로피탈 넣어도 답은 쉽게 나옵니다.)

그런데 루트식이 있는 극한은 바로 교체하지 말고 유리화 한 후 수렴하는건 수로 바꿔 놓고 교체하는게 계산상 편리합니다. 그렇다고 바로 교체한다고 성립하지 않는거는 아니란거...다음 문제를 보겠습니다. 

마지막으로 위에서 언급했듯이 적용안되는 경우입니다.

마지막으로 Quiz 남기고 칼럼 마무리 하겠습니다.

저는 랑데뷰 수학 황보백 선생입니다.