수리 굇수님들 헬프ㅠ

미분의전제가연속이라그런건가..

아 그런것도 같아요 .근데 문제는 x=a를 기점으로 서로 다른 함수가 주어지면 어떵게 되는지 잘 모르겟네요

x=a에서 미분가능하려면 도함수가 a에서 연속해야되는데 거기에서 함숫값이 없으면 연속이 안되니까 미분불가능한거죠

근데 미분가능의 조건이 도함수의 연속성 즉 좌 우 극한값이 모두다 같다는것인가요?? 저는 좌우 까지만 같아도 된다고 배워서요ㅠ 아 개념이 헤깔리네요ㅠ

미분이 가능하려면 연속해야 하는데, 연속하려면 좌우 극한과 극한값 3개 모두가 같아야 되죠.
그니까 결국은 미분이 가능할면 좌극한,우극한,극한값 3개가 모두 같아야 가능하다는거죠

미분의 정의자체가 연속이라는 개념을 바탕으로 하고 있어서 그렇습니다. 연속이라고해서 무조건 미분가능은 아니지만 미분이가능하면 연속이어야해요.
미분이 수식으로
lim h->0 일때 f(x+h)-f(x)/h 인데 극한값이 존재하더라도 함수값 f(x)가 존재하지 않으면 식에서 값을 구할수가 없게됩니다.

"lim h->0 일때 f(a+h)-f(a)/h 이 존재할 때"

=

"lim h->+0 일때 f(a+h)-f(a)/h 과 lim h->-0 일때 f(a+h)-f(a)/h이 같을 때"

=


"즉 평균변화유링 극한값이 존재할 때"


그 값을 f'(a)라고 약속하느 ㄴ겁니다/.


따라서 f'(a)가 없으면 미분불가능한거죠.



참고로 도함수의 연속성과 미분가능성을 연계짓고계시는데 둘은 별 상관없습니다.


"도함수의 함숫값"만이 상관있죠

그렇다면 도함수가 x=a에서의 극한값이 존재하지만 이와 함숫값 f ' (a)가 달라 불연속인 경우에도 원함수는 x=a에서 미분가능하다는 말씀이신가요?

그런 경우가 있다면 x=a에서 미분가능하다고 봐야겠지만 그런 경우는 없습니다. 즉, 도함수f ' (a)가 존재하고, f ' (x)의 극한값(x->a일때)이 존재하면, 그 두 값은 반드시 같아야 합니다. 이런 의미에서, 해원님이 도함수의 연속성과 미분가능성이 별 상관이 없다고 하였지만, 또 상당히 관련이 있기도 합니다. 어쨋거나 일반적으로 미분가능하다 해서 도함수가 연속은 아니고, 질문자님의 질문에서처럼 아예 f ' (a)가 존재하지 않는다면 그냥 그 자체로 미분불가능하다는 뜻이고, x->a일때 f ' (x)의 극한값과도 물론 아무 상관 없습니다. (아예 존재하지 않으므로)

"그런 경우가 있다면 x=a에서 미분가능하다고 봐야겠지만 그런 경우는 없습니다."
이부분은 정정이 필요할듯 합니다.
함수
f(x)=
x^2 sin(1/x^2 ) (x=0 이 아닐때) ,
0 (x=0 일때 )

이렇게 두조건 으로 정의된 함수는 x=0 에서 연속입니다. x=0 에서 미분도 가능하구요 하지만 도함수가 x=0 에서 연속은 아닙니다.
x=0 근처에서 미췬듯이 진동해나가는 그런 함수이죠.

그래서 사실 함수의 미분가능 문제를 100% 정석으로 풀려면
미분계수의정의를 이용하여 미분계수값(미분계수의 좌극한과 우극한이 같다)
로 푸는 것이 정석입니다. 그런데
대부분의 출제되는 문제들의 함수들이 도함수가 연속인 함수들이 출제가 되기 때문에
미분먼저하고 연속이다 로 푸는데 ㅅ실 그풀이는
엄밀히 말해서 제대로된 풀이는 아닙니다.

그게 아니죠.. 말씀하신 예는 유명한 것인데요, 그 경우 도함수f ' 이 x=0에서 극한값 존재하나요? 제가 말씀드린 것은, 도함수 f ' (a)가 존재할 뿐 아니라, x->a일때 f ' (x)의 극한값도 '존재'한다면 lim_{x->a} f ' (x) = f ' (a) 여야 한다는 것입니다. '도전인'님 질문을 정확히 읽어보세요. 제가 말씀 드린 것은 정리로 알려진 것이고 증명은 생각보다 쉽지 않습니다.

감사해요 ㅎㅎ 고3때도 이해가 안갓는데 개념책피고 생각해보니깐 알겟네요 ㅠㅠ제가 평균변화율을 자꾸 도함수의 기울기랑 연관지엇네요 암기교육의폐혠가?? ㅋㅋ암튼 감사해욥 수리 굇수님ㅋㅋㅋ

직관적으로 생각해보면 도함수의 함수값은 그 점 에서의 원함수의 평균변화율의 극한값인 겁니다. 그 점에서 도함수가 함수값을 가진다면 그점에서 원함수의 평균변화율의 극한값이 존재한다는 말이므로 당연히 미분가능하게 되는거죠.

x=a에서 도함수의 함숫값이 없다는게
x=a에서 원함수가 미분계수가 없다는 뜻이죠
그러니까 미분불가능한거임
너무 어렵게 생각하시는 듯
그러니까 x=a에서의 도함수의 함숫값은 그냥 원함수의 x=a에서의 미분계수를 나타낼 뿐입니다
당연히 도함수의 함숫값이 없으면 미분계수자체가 없다는소리니까 미분이 불가능하죠