무한등비급수에 관하여

수능에서는 절대로 빠지지 않고 반드시 나오는 유형이 하나 있는데, 이는 바로 도형과 관련된 무한등비급수 문제입니다. 대부분 긴 지문으로 시험지 한 페이지의 거의 절반을 차지하는 이 유형의 문제들은 수능 출제 유형 가운데 가장 풀이법이 공식화되어 있어 푸는 요령만 알게 되면 거의 틀리는 법이 없지만 지문이 길어 문제를 이해하기 어려운 학생들에겐 손도 대기 어려운 난이도로 꼽히곤 합니다. 최근에는 거의 프랙탈 구조의 도형의 일부분을 색칠한 넓이의 극한값을 묻는 유형이 주를 이루며, 객관식 문제로 출제되고 배점은 거의 4점이기 때문에 놓치기는 아깝습니다. 이 유형의 문제는 초항과 닮음비만 구하면 무한등비급수의 합의 공식으로 바로 답이 나오기 때문에, 결국 주어진 도형의 성질을 충분히 활용해 초항과 닮음비를 구할 수 있는 가가 이러한 문제를 풀기 위한 핵심이며, 따라서 이 유형의 문제를 풀 때는 논증기하와 자기닮음의 성질을 이용, 두 단계의 도형으로부터(수치가 직접 주어진 초항을 포함하는 것이 편하다) 닮음비를 먼저 구해낸 다음, 각종 기본도형들의 성질을 이용해 초항만 계산한 후 바로 답을 구하면 됩니다. (물론 넓이를 구할 땐 닮음비의 제곱을 써야 함을 잊어선 안 됩니다.) 이렇듯 풀이 전략이 거의 확정되어 있기 때문에, 최근에 나오는 문제들은 어떻게든 초항과 닮음비를 알아내기 어렵게 하기 위해 갈수록 교묘하고 특이한 모양으로 출제하고 있으며, 사실 아이디어만 있으면 수험생이 직접 문제를 만들기도 어렵지 않습니다.

한편, 이 유형의 문제는 항상 가, 나형에 공통으로 출제되므로 교육과정 개정 이전에는 수1까지의 지식만으로 풀 수 있게 출제되어 왔습니다. 그리고 이는 교육과정이 개정되어 미적분과 통계 기본이 인문계 교육과정에 포함된 이후에도 마찬가지였습니다. 그러나, 최근 수능의 경향이 여러 분야의 지식을 복합적으로 묻는 문항을 선호하고 있는 것을 생각하면, 조만간 이 유형이 새로 포함된 미적분과도 연계될 가능성이 있다고 조심스럽게 추측해 봅니다. 그리고 연계는 주로 도형의 넓이를 미적분을 활용하여 구하는 식으로 이루어질 테지요.

이에 이러한 신유형의 문제를 한 번 구상해 보았습니다. 이전에 이런 유형이 있었는지는 모르겠으나, 제가 아는 한은 없었습니다.(물론 저는 수능을 본 지 한참 된 일개 수학 애호가이므로 최근 시중의 문제집등을 보진 않았습니다.) 신유형이라고 해도 초항을 구하는 데 다항함수의 적분을 사용할 뿐인 단순한 형태이지만, 이러한 유형을 접해보지 않고 논증기하를 통해 닮음비와 초항을 주로 구하던 기존의 문제에만 익숙해져 있다면 다소 생소하게 다가올 수도 있을 것 같습니다. 그러나 기본적인 풀이법은 역시 닮음비->초항 순으로 구한 후 공식을 적용는 것이므로, 이런 유형에 적응만 된다면 오히려 더욱 수월하게 풀어낼 수 있을 것입니다. 이런 문제가 앞으로 모의평가나 수능에 나오기를, 그래서 이 글을 보신 수험생들은 당황하지 않고 멋지게 풀어낼 수 있기를 기대해 봅니다.