평면 알파: 4x+3z=2, 베타: x-2y+2z=7라 부르고, 그리고 두 평면의 교선을 l이라고 할게요. 계산을 쉽게 하기 위해 일부러 의도하셨겠지만 점B는 교선 l 위에 있고요^^ 점A에서 교선l에 내린 수선의 발을 C, 베타에 내린 수선의 발을 D라고 하면, 계산을 조금 하면 (점과 면 사이의 거리, 점과 직선 사이 거리, 내적 등 이용)
삼각형 ABD는, AB=3, BD=2루트5인 직각삼각형, CD=6/루트5, BC=8/루트5, AC = 9/루트5 가 되고요. (삼각형BCD는 BC:CD:BD=4:3:5인 직각삼각형. 두 면 사이 이면각의 코사인값은 DC/AC = 2/3.)
면 알파 위의 삼각형S를 ABX라고 부를게요. (X는 제3의 꼭지점), 그리고 X의 베타 위로의 수선의 발을 H, 교선l 위로의 수선의 발을 Y라 하고요.
경우1) AXB=90도 인 경우. 그림 그리기에 따라 다른데, 예각ABX가 90도보다 조금 작고, 그 정사영인 각DBH가 각도가 더 커져서 딱 90도가 되는 경우만 생각해도 충분합니다. 그러면, 각DBH=90도여야 하니까, BC:CD=4:3이었다는 사실로부터 BY:HY=3:4. 이면각 코사인 값이 2/3니까, XY:HY=3:2. 따라서, BY=3a로 두면, HY=4a, BH=5a, XY=6a, XH=2루트5 a, BX=3루트5 a 등을 얻고, 이로부터
끝으로 AX^2 + BX^2 = 29 --> 대입하고 계산하면 a=2/(3루트5). 따라서 BX=2. AX= 루트(29 -2^2) = 5니까, S의 넓이는 5.
경우2) 각ABX=90도인 경우(각BAX=90도인 경우도 비슷)
이 경우 X의 방향이 두 가지가 가능한데, X의 방향을 잘못 잡으면 정사영이 둔각삼각형이 됩니다. 마찬가지로 H, Y 정의하고,
BH=9k, XH=8k (삼각형BHX, ACB닮음이므로 9:8), HY=16k/3 . 이 때 BX=루트145 k
각BDY=90도 여야 하니까, 조금 계산해보면 k= 루트5 /2. ( 16k /3 + 6/루트5 : 9k-8/루트5 = 4:3 풀어서..)
따라서 BX=5루트29 /2. S의 넓이는 145/2.
쓰고 보니 더 간단한 풀이가 있을 것도 같은데.. 그냥 좌표 계산 하는 게 더 간단하려나 하는 생각도 드네요ㅎㅎ 계산이 많은데 닮음 이용하면 비교적 쉽게 할 수 있을 거 같아요. 수능 문제보다는 훨씬 어려운 거 같습니다.
그러면 답이 10k = 50 or 72 or 362.5 가 되겠네요. 제 윗글의 "경우1)"에서 a=2/(3루트5) 라는 부분에서, 사실 a=0도 근으로 나오는데, 제가 a=0을 간과했네요. a=0인 경우 해보니 72도 나오는군요. 제가 다시 써서 올리겠습니다. k=7.2인 경우를 구함에 있어서, 칸타타님 풀이에 잘못된 점 없이 완벽한 것 같습니다. 다만 문제의 조건을 만족하는 k가 세 가지나 있다는 것이..ㅎㅎ 매번 재밌는 문제 고마워요^^
72??
풀이좀요ㅜ
계산은 안해봐서 잘은 모르겠는데요. 답이 여러개나오지않나요??? AB가 빗변인지 빗변이아닌지에따라 나뉠거같은느낌이드네요
아 물론 문제의도가 빗변이 아닐때 성립이 안된다는걸 담고있다면 좋겠네요.
10k = 50 or 362.5
풀이좀요ㅜ
평면 알파: 4x+3z=2, 베타: x-2y+2z=7라 부르고, 그리고 두 평면의 교선을 l이라고 할게요. 계산을 쉽게 하기 위해 일부러 의도하셨겠지만 점B는 교선 l 위에 있고요^^ 점A에서 교선l에 내린 수선의 발을 C, 베타에 내린 수선의 발을 D라고 하면, 계산을 조금 하면 (점과 면 사이의 거리, 점과 직선 사이 거리, 내적 등 이용)
삼각형 ABD는, AB=3, BD=2루트5인 직각삼각형, CD=6/루트5, BC=8/루트5, AC = 9/루트5 가 되고요. (삼각형BCD는 BC:CD:BD=4:3:5인 직각삼각형. 두 면 사이 이면각의 코사인값은 DC/AC = 2/3.)
면 알파 위의 삼각형S를 ABX라고 부를게요. (X는 제3의 꼭지점), 그리고 X의 베타 위로의 수선의 발을 H, 교선l 위로의 수선의 발을 Y라 하고요.
경우1) AXB=90도 인 경우. 그림 그리기에 따라 다른데, 예각ABX가 90도보다 조금 작고, 그 정사영인 각DBH가 각도가 더 커져서 딱 90도가 되는 경우만 생각해도 충분합니다. 그러면, 각DBH=90도여야 하니까, BC:CD=4:3이었다는 사실로부터 BY:HY=3:4. 이면각 코사인 값이 2/3니까, XY:HY=3:2. 따라서, BY=3a로 두면, HY=4a, BH=5a, XY=6a, XH=2루트5 a, BX=3루트5 a 등을 얻고, 이로부터
AX^2 = (AD-XH)^2 +DH^2 (피타고라스)
= (3-2루트5 a)^2 + (6/루트5 - 4a)^2 + (8/루트5 +3a)^2 도 얻습니다.
끝으로 AX^2 + BX^2 = 29 --> 대입하고 계산하면 a=2/(3루트5). 따라서 BX=2. AX= 루트(29 -2^2) = 5니까, S의 넓이는 5.
경우2) 각ABX=90도인 경우(각BAX=90도인 경우도 비슷)
이 경우 X의 방향이 두 가지가 가능한데, X의 방향을 잘못 잡으면 정사영이 둔각삼각형이 됩니다. 마찬가지로 H, Y 정의하고,
BH=9k, XH=8k (삼각형BHX, ACB닮음이므로 9:8), HY=16k/3 . 이 때 BX=루트145 k
각BDY=90도 여야 하니까, 조금 계산해보면 k= 루트5 /2. ( 16k /3 + 6/루트5 : 9k-8/루트5 = 4:3 풀어서..)
따라서 BX=5루트29 /2. S의 넓이는 145/2.
쓰고 보니 더 간단한 풀이가 있을 것도 같은데.. 그냥 좌표 계산 하는 게 더 간단하려나 하는 생각도 드네요ㅎㅎ 계산이 많은데 닮음 이용하면 비교적 쉽게 할 수 있을 거 같아요. 수능 문제보다는 훨씬 어려운 거 같습니다.
사실 님 풀이를 제대로 이해하지 못했습니다ㅜ
셋째줄 AB=3 이부분이 오타이신거 같은데 그냥 그거 무시하고 그 뒤쪽도 읽어봤지만 이해가 잘...
우선 제 풀이는 이래요
평면 알파: 4x+3z=2, 베타: x-2y+2z=7라 부르고, 그리고 두 평면의 교선을 l이라고 할게요. 계산을 쉽게 하기 위해 일부러 의도하셨겠지만 점B는 교선 l 위에 있고요^^
여기까지는 그대로 두고, 점 A에서 교선에 내린 수선의 발을 H라 하면
선분 AB의 길이 루트29, 선분 AH의 길이 3, 선분 BH의 길이 2루트5는 바로 나오죠
이 때 점 B에 대하여 직선 AB가 교선 l과 수직인지의 여부를 알아내야 하는데,
만약 수직이라면 두 평면이 이루는 각의 크기의 코사인값이 2루트5/루트29가 되면서
두 평면의 방정식에서 각각의 법선벡터를 이용하여 구한 코사인값인 2/3과 달라지면서 모순이 되죠
따라서 직선 AB가 교선 l과 수직이 되지 않도록 점 B를 정하고,
교선 l위의 점 M에 대하여 직선 AM과 교선 l이 수직이 되도록 점 M을 정합니다
그리고 법선벡터로부터 구한 두 평면이 이루는 각의 크기에 대한 코사인값인 2/3을 적용시키면
선분 AM의 길이가 9/루트5, 선분 BM의 길이는 8/루트5가 나오면서 S의 넓이는 36/5가 나오도록 의도했습니다
잘못된 점이 있다면 지적해주세요...
그러면 답이 10k = 50 or 72 or 362.5 가 되겠네요. 제 윗글의 "경우1)"에서 a=2/(3루트5) 라는 부분에서, 사실 a=0도 근으로 나오는데, 제가 a=0을 간과했네요. a=0인 경우 해보니 72도 나오는군요. 제가 다시 써서 올리겠습니다. k=7.2인 경우를 구함에 있어서, 칸타타님 풀이에 잘못된 점 없이 완벽한 것 같습니다. 다만 문제의 조건을 만족하는 k가 세 가지나 있다는 것이..ㅎㅎ 매번 재밌는 문제 고마워요^^
그런데 주어진 변을 빗변이 아닌 변으로 하는 직각삼각형은 하나 안만들어지네요
따라서 제 풀이에서 답은 두개가 나오네요
주어진 변을 빗변으로 할때 -> 답 나오고요
주어진 변을 '긴' 밑변으로 할때 ->답 나오고요
주어진 변을 '짧은' 높이로 할때 -> 삼각형이 생기지 않습니다.
연공가자님 // 주어진 변AB를 '짧은' 높이로 하는 삼각형 생겨요. AB= 루트29, BC = 5루트29 / 2. (위에서는 C를 X라고 헀었습니다.)
첨엔 답이 2개라 했다가 다시 좀전에 3개라 했는데, 풀이를 종이에 적어보니 4개가 나오는군요
주어진 평면 a, 평면b 의 교선 l 의 벡터를 구해본다
점A,B를 이은 직선과 교선 l 이 평행이면 직선AB는 그 교선과 평행이고, 직각삼각형의
빗변이 아니다. 만약 A,B를 이은 직선과 교선 l 이 평행하지 않으면 이는 직각삼각형의
빗변이다. 따라서 교선 l과 평행하게 해주는 나머지 삼각형의 점 C를 구하면된다..
ㅎㅎ풀이는 생략..ㅠㅋ