수리영역 기출문제의 논리적 접근 (함수의 볼록성)
이번 글에서는 함수의 볼록성에 관해서 다루어보려고 합니다.
함수의 오목,볼록은 수능에서도 몇 번 출제가 됐었고, 논술과 면접에서도 많이 나왔던 소재입니다.
수능에서는 볼록 '그래프'의 특징에 대해서 묻고, 논술과 구술에서는 f''(x)>0(<0)이므로 f'(x)가 증가(감소)라는 것을 이용해
원하는 모양으로 식을 다루는 능력을 봅니다.
이를 먼저 알고서 문제를 풀어보겠습니다.
(96년 수능)
ㄱ,ㄴ을 보고서 어떻게 풀어야 하는지 바로 떠올라야 합니다.
지수/로그함수 그래프 문제에서처럼 분수식을 '기울기'로 해석하는 거였으니까요.
비록 이 문제가 훨씬 쉽지만 모두 공통된 아이디어로 진행되고 있음을 느끼셔야 합니다.
그래서 이렇게 확인하면 끝입니다.
이제 볼록성을 통한 f'(x)의 증가/감소 여부를 통해 논리적으로 풀어봅시다.
이 문제는 그냥 그래프로 주어졌지만 조건을 달자면 양수 x에 대하여 f''(x)<0, f'(0)=1 입니다.
식의 모양을 통해 어떤 함수를 가져와야 하는지는 감이 와야 합니다.
(05년 수능)
이 문제는 ㄷ보기를 잘 봐야 합니다. 일단 교과서로부터 정적분은 곧 넓이와 직결된다는 개념을 알고 있습니다.
그렇다면 부등호 오른쪽의 식도 넓이로 이해해야 두 개의 비교가 되겠죠?
이렇게 교과서로부터 알 수 있는 개념으로 문제풀이의 키를 잡습니다.
따라서 수능식 해설은 이렇습니다.
이제 논리적 풀이를 위한 아이디어를 추출해냅시다.
일단 부등식을 정리해서 우변을 (b-a){f(a)+f(b)}/2 로 만들어 봅시다.
그럼 이 식은 사다리꼴 넓이를 뜻하게 되는데, 이 때 이 부등식이 성립할 수 있는 이유는
구간 (a,b)에서 (a,f(a)),(b,f(b))를 잇는 직선이 f(x)보다 항상 위에 있기 때문입니다.
이 사실을 증명하는 것이 포인트입니다.
이 아이디어를 잘 기억해놓고 다음 문제를 봅시다.
(10년 9월 평가원)
이또한 정적분과 관련된 식을 넓이로써 이해하고 그 둘을 비교하는 패턴의 문제입니다.
그래서 수능식 해설은 이러합니다.
그렇다면 증명하는 아이디어 또한 이와 동일하겠죠?
연습 차원에서 한 번 더 연습해봅시다.
이번 글을 통해서 함수의 볼록성을 다룰 때는 f'(x)가 증가/감소함수라는 사실을 이용할 수 있고,
직관적으로 푼 풀이에서 논리적인 이유를 분석한 후, 거기서 나오는 아이디어를 그대로 증명에 적용할 수 있다는 사실을 알 수 있습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
같은건없다
-
높을까요?? 항상 3합5 3합6만 준비했었어서 4합5 4합8 인문 최저충족률이...
-
5덮 사문 50 17
쉬운거같긴한데 공부시작 3주지나고 50점 보이니까 기분은 좋음
-
업뎃이네 그냥자야지
-
5분후에자야지 3
내일은일찍일어나야하는데...
-
지금 국어는 김승리 얼오카 문학만 끝내고 kbs 하면서 빨더텅… 조금씩 푸는데요ㅜ...
-
슈특 9
슈냥특강
-
갔다올게요 16
국방부 시계가 째깍째깍
-
내 청춘은 어디로 갔지 11
왜 내 인생엔 수능밖에 남지 않았지 내년엔 벗어나 있을 수 있겠지.. 하는 희망을...
-
고3때 친해진놈인데 약간 난 놈?이라고 해야되나 고3때 147일쯤이였는데...
-
재수할때 내신 0
제가 입시에 관해서 잘 몰라서 그러는데 고3때 본 투과목이 B가 뜨면 재수할때...
-
현우진쌤 뉴런 0
공통 수1,2는 되게 인상 깊었고 얻어가는게 많았는데 확통은 뭔가뭔가네요...정상인가요?
-
이번 6모 64점입니다.... (20번 열린구간 한글을 못보고 22번 수열 식 밑에...
-
ㄱㅁ하거싶다 3
-
다음달 7월 중순에 전역 예정이고 전역하고 독재 들어가서 반수를 시작할려고 합니다....
-
루미큐브하실분 1
3931265
-
솔직히 말하면 외고 베이스 + 2년 열심히해서 국수영 211 나왔다해도 문디컬 or...
-
노베인데 생명 어떻게 공부해야할지 모르겠어요 으악
-
60일은 N제 죠지고 나머지 40일은 매일 실모 조지면 되겟다 완벽하다 이거야 캬캬캬캬캬캬캬캬캬캬
-
왜 사람들이 꾸준히 150일 10시간이상하면 기적을 만들 수 있다고 한 이유가...
-
자기 전 ㅇㅈ 15
죽어가는오르비를살려(재탕임) 여러분인증하세요
-
수능중독말고 0
대학가서학점올리는재미로살자
-
키워드 정리중인데 철학가마다 중심되는 키워드좀 적어주고가..
-
성적이 쑥 오르니까 재밌네
-
국어 백분위 93 수학 백분위 97 영1 탐구 96 96 이면 감??
-
잘자용 2
도로롱
-
화공 기준 어느정도 가냐
-
··· 5
힘이업도다 힘죠 ......... 힘 다들힘내거라
-
걍에휴다노
-
아직도닌텐도를못샀다......
-
람 각 ㅅㅂ려나
-
손이 안감
-
찰칵
-
내일 독재 첨 가는데, 주간지가 다 유빈이라서 눈치 존나 보인다... 상관 없음???
-
재밌어서 6일만에 다풀었네요...
-
요즘 아이돌 좋아하는 사람들에게 편견이 생긴거같음 인간은 참 이기적이다 그쵸
-
사실 모교에 신청하러 가기 귀찮고 애들도 없어서 안가는 찐임..
-
부엌일 하고 짜증남 다시 불 껐지만
-
궁금한거 있음 3
자기 레어 한 번더 구매 누르면 비싸지나요?
-
그건 바로 쿠키런킹덤이라는 게임에 ㅅ발 원하는 쿠키 안나오길래 개빡쳐서 계속 지름..
-
어캄? 인생 망하는거? 학교는 목에 칼이 들어와도 가기싫노
-
. 0
굿나잇 뽀뽀 쪽
-
진짜로 딱 여기서 변별하겠다 감각적 직관이 들어와야 한다니까
-
공부함?
-
눈치 겁나주는데 ㅈ같다 엄마 칼로 찔러 죽이고 싶다 진짜
-
필수임 수학 과학 언매 다 문학도 그렇고 영어도 쎄듀출판사 책으로 공부해야한다 보고
-
으어취한다집가자 2
으어보ㅗㄱ싶노
-
요즘 의대생들 1
1학기에 학교 갔음? 최근에 입시랑 일도 모르고 살아서 어케 된건지 진짜 몰라서...
-
설맞이, 이로운, 이해원, 드릴, 빅포텐, 문해전 난이도가 어떻게 되나여
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.