[박수칠] 중복조합의 기호에는 왜 H가 사용될까?

오늘은 수학 기호에 대한 얘기를 하나 해볼까 합니다.

바로 중복조합의 기호 H인데요...

H를 사용하는 이유에 대한 명확한 설명을 찾기 힘들어서

여기에 간단하게(?) 설명해볼까 합니다. ^^

(중복조합과 이항정리에 대한 지식이 필요함)

경우의 수를 세는데 쓰이는 기본적인 도구에는 순열, 조합, 중복순열, 중복조합이 있습니다.

각각의 기호와 계산법을 간단하게 살펴봅시다.

*순열(Permutation)

서로 다른 n개의 대상 가운데 r개를 선택해서 나열하는 경우의 수는

이며, P는 Permuatation의 머릿글자입니다.

*조합(Combination)

서로 다른 n개의 대상 가운데 r개를 선택하는 경우의 수는

이며, C는 Combination의 머릿글자입니다.

*중복순열(Permuation with Repetition)

서로 다른 n개의 대상 가운데 중복을 허락해서 r개를 뽑아 나열하는 경우의 수는

이며, (pi)는 곱을 의미하는 Product의 머릿글자입니다.

P는 순열이 선점해버렸기 때문에 여기에 해당하는 그리스 알파벳을 가져온 것이죠.

(는 원주율을 나타내는데 사용되는 그리스 알파벳 의 대문자입니다.)

*중복조합(Combination with Repetition)

서로 다른 n개의 대상 가운데 중복을 허락해서 r개를 뽑는 경우의 수는

이며, H는 Homogeneous monomials(동차단항식) 또는

Homogeneous product(동차곱)의 머릿글자입니다.

그럼 동차단항식, 동차곱은 무슨 뜻일까요?

이를 파악하려면 이항정리를 알아야 합니다.

이항정리는 (a+b)^10과 같이 항이 2개인 다항식의 거듭제곱을

전개하는 방법에 대한 정리입니다.

그 내용은 다음과 같죠.

이항정리의 계수를 조합 대신 같은 것을 포함하는 순열로 계산하면

다음과 같은 삼항정리가 유도됩니다.

이를 일반적인 경우로 확장하면?

다음과 같이 항이 k개인 다항식의 거듭제곱을 전개하는 방법인

다항정리를 만들 수 있죠.

의 전개식에서 각 항은

위 일반항에서 각 문자의 차수 이 변하면서 다양하게 나타나지만,

차수의 합이 으로 일정하기 때문에 동차단항식이라고 부릅니다.

또한 를 전개했을 때

항의 개수는 방정식 의 근의 개수와 같고,

미지수 은 0 또는 자연숫값만 갖기 때문에 근의 개수는

서로 다른 k개의 대상 가운데 중복을 허락해서 n개를 뽑는 경우의 수,

즉 중복조합 과 같습니다.

이 때문에 중복조합의 기호로 동차단항식의 머릿글자 H를 사용하는 것입니다.