칼럼6) 탄젠트 이모저모
탄젠트 함수의 성질 두 가지를 소개해드릴까 합니다. 오늘 내용은 가볍고, 나름 알려진 편입니다.
일단 문제입니다.
(당연히 자작! 제가 드리는 문제에서 기출이라고 따로 언급이 없으면 다 자작일거에요)
원래는 f(x) 정의역을 좀 달아줘야 하는데(x=pi/2, 3pi/2 ...에서 정의 안 됨 이런거요) 예제문제니까 패스했습니다. 가볍게 보이는게 아무래도 더 중요하죠(?)
아무튼 문제를 풀어보겠습니다. 우선 이 상황이 왜 결정되는지를 느껴야 해요.
이 문제뿐만 아니라 다른 수학 문제를 풀 때에도 마찬가지에요. 어떤 요인으로 인해 상황이 결정되었고, 자신은 계산만 하면 답이 원하는 값을 찾을 수 있다는 걸 늘 느껴야 합니다.
그림을 그려보겠습니다.
점 A의 위치가 정해지면 점 B의 위치는 자동결정입니다. A 위치에서 5pi/2만큼 오른쪽으로 간 곳에서 함수에 점 찍어주면 그게 B에요.
한편 탄젠트 함수는 pi만큼의 주기를 가진 함수입니다. 그래서 아래 그림처럼 5pi/2 차이를 pi/2 + 2pi로 인식해볼 수 있어요.
pi/2만큼을 먼저 이동해주면 A가 위치한 것과 같은 날개(?)에서 B'이 찍힙니다. 그리고 그거와 위상이 같게끔 2pi만큼 이동해주면 세 번쨰 날개(??)에 B가 찍혀요.
위상이라던가 날개라는게 수학적 용어는 아닌데요, 직관적으로 전달하기에 이만한게 없더라구요. 앞으로도 종종 이렇게 표현하겠습니다.
여기서 B'과 A의 관계에 주목할 필요가 있습니다. 탄젠트 함수에서 x좌표 차이가 pi/2라는 것은 특별하기 때문이죠. 이유는 다음과 같습니다.
각이 pi/2 즉 90도 차이 난다면 두 직선의 기울기는 곱했을 때 -1이 나오는 관계일 것입니다. 함수에서 이를 보자면
점 B' 그리고 점 B의 y좌표가 k파이라고 하면 점 A의 y좌표는 -파이/k가 됩니다. 이 함수는 pi tanx기 때문에 그냥 k,-1/k가 아니라 거기에 파이까지 곱해진 겁니다.
그런데 아직 상황은 결정되지 않았어요. 영상을 보듯이 다음 과정이 연속적으로 보였으면 좋겠습니다. a가 -pi/4와 0 사이를 오갈 때 점 A 위치가 각각 결정되고, 그에 따라 B의 위치도 결정되는... 그 모든 상황이 아직 가능해요. 아직 a가 결정되지 않았으니 당연히 상황은 결정되지 않았습니다.
그래서 조건이 하나 더 주어져 있습니다. 점 A와 점 B를 이은 직선의 기울기가 1입니다. x좌표 차이가 5pi/2일 때
y좌표 차이도 5pi/2여야 합니다.
답은 2가 되겠네요. A의 x좌표가 -pi/4에서 0 사이에 있기 때문이죠.
한편 첫 번째 줄에서 두 번째 줄로 넘어갈 때, 정석은 양변에 k를 곱한 뒤 이차방정식을 푸는 것입니다. 근데 그렇게 하지 않고 바로 2 혹은 1/2이라고 찾을 수 있었으면 좋겠습니다.
일단 이차방정식 꼴이 될 것이니 k 값이 오직 2개라는 걸, 또 두 근이 역수관계에 있을 수밖에 없다는 걸 안 상태에서 (1, -1, 0이 아닌 어떤 수 a가 위 식을 만족한다면 1/a도 만족할 테니까요.) k=2를 넣으면 만족하니까 1/2도 만족하겠네생각하고 찾아내시는 겁니다.
숫자도 맨날 나오는 거만 나와서 그렇게 부담되지도 않습니다. 이미 이렇게 많이들 하고 계시기도 할거구요.
한 발짝 더 나아가서
이런거도 이제 바로
다음이 보이면 좋죠. 물론 중요한 내용은 아니고 그렇게 많이 나오는 계산도 아닙니다. 소소한 팁 드린거에요!
다시 본론으로 돌아가겠습니다. 삼각함수 문제는 주기와 대칭이 전부 아니냐고 말하신다면 .. 맞는 말이긴 합니다. 그런데 가끔 tan 문제에서 주기와 대칭 이외의 성질 두 가지를 묻기도 하더라구요. 지금까지는 그 성질 두 개 중 첫 번째를 소개드린겁니다.
tan 함수에서 x좌표 pi/2차이 -> 함숫값 정보 도출 가능
평가원에 나올 확률이 높냐고 묻는다면.. 전 낮다고 봅니다. 하지만 이 내용 자체로 좀 생각할 거리가 있고, 1년 내내 n제와 사설에서는 종종 보실 거기 때문에 소개드려봤습니다. 두 번째 성질도 마찬가지에요!
그 두번째 성질도 우선 문제로 소개해드리겠습니다.
(내리면 답 스포)
답은 4입니다. 풀이는 따로 없는데 방금 못 푸셨더라도 아래 내용 읽어보시면 스스로 푸실 수 있을거에요.
탄젠트 곱이 -1일 때 두 각 사이의 관계도 존재하지만, 탄젠트 곱이 1일 때에도 관계가 존재합니다.
곱이 1이라는 건 두 기울기가 역수관계에 있다는 것인데요,
역수 관계에 있다면 둘은 y=x에 대해 대칭적으로 그려집니다.
기울기 n, 그리고 1/n인 함수를 볼게요.
기울기가 n이라는 건 x좌표가 1 증가할 때 y좌표가 n 증가하는 것이고
기울기가 1/n이라는 건 y좌표가 1 증가할 때 x좌표가 n 증가하는 것이기에
둘이 y=x에 대해 완전히 대칭적인거죠.
즉, 두 각의 평균이 pi/4라는 겁니다.
(둘 다 동경을 예각으로 표현했다고 했을 때요.)
탄젠트 함수에 이를 나타내어보면
x축에 제가 pi/4, 그리고 등간격 표시를 해놨습니다. 어떤 의미인지 이해가 가실거라 생각합니다.
알려드린 두 성질을 tan 함수에 다 표시해보겠습니다.
tan 함수와 y=1/n 그리고 y=-1/n의 교점은 원점에 대하여 대칭일테니까 x좌표가 완전히 뒤집힌 것도 보입니다.
이 두 가지 성질 외에는 전부 주기와 대칭으로 끝날 겁니다. 평가원은 아마 주기 대칭으로 끝나게끔 문제를 낼 거 같지만 그럼에도 알려드린 이유는... 위에 말씀드린대로입니다 ㅎㅎ
준비한 내용은 여기까지입니다. 혹시 원하시는 주제 있다면 댓글로 언제든지 자유롭게 요청해주세요!
좋아요 부탁드리고, 팔로우해두시면 앞으로 나올 좋은 칼럼들을 놓치지 않고 확인하실 수 있습니다.
0 XDK (+1,000)
-
1,000
-
얼버기 0
안뇽
-
뉴런+기코 조합이 대세였다 이 말이야~ 22살 23학번 틀딱 기준
-
기차지나간당 1
부지런행
-
얼버기^^ 4
다시 잘꺼임
-
용서해주겠니
-
조언 구합니다 1
영어,사문,국어or수학으로 3합8 맞추려고 하는데 국어랑 수학은 공부를 안 해봐서...
-
연애하는 사람이 '비정상' 인것이다
-
꼬순내챺챺퍼리퍼리빔을맞아버리다 > 비정상인코스프레하는이세계퍼리헌터 이제 좀 건전해진듯
-
반수 결심햇더니 인 팔아버리누
-
21수능 이후 입시 끝낸 한의대생입니다 방학 하고 심심해서 들어와봤어요 ㅎㅎ 진로,...
-
제목 그대로입니다 제가 기숙학원 들어가기 전에 꼭 연락해야 할데가있는데 까먹고...
-
왜냐고? 나도 알고싶진않ㄷ았다
-
ㅠㅠ
-
메디컬급 씹괴수들도 영어1이 잘없는거 보니 평가원이 잘못한게 맞다ㅇㅇ
-
시원하네요 오늘
-
ㅁㅌㅊ? 높공임
-
그지에요
-
ㄹㅇ
-
야심한밤의ㅇㅈ 10
웨클릭?
-
몇년만에 재르비하니까 재밌당 ㅎㅎ
-
이해원 시즌 1 3
6평 범위임?
-
어차피 반수지만 1학기는 성실히 했다
-
들어오느라 수고했음 이제 나가셈
-
학점 3.17이다 에라잇 씨이팔~
-
아무거나 다 괜찮을 듯
-
롤 하면서 밤 새야 ..
-
내맘대로 할수있음
-
츄ㅣ르비 무물 20
다른고도 가능
-
의사여서 하고싶은게 아니라 힘든사람들을 도와주고 많은 사람의 인생을 볼 수 있다는게...
-
가끔 그때 생각이 많이 나요 최근에 여행을 못가서 그런가
-
편하게 쉬고 싶음 ..
-
수국케인 근황 7
양자컴 분야 대회 우승
-
낼 죽으면 5
마니 마셔서 그런것
-
나를좀가꾸고싶음 자꾸 이상 속의 나와 현실의 나 사이의 괴리감이
-
6모 32555 에서 현타 씨게옴 약 20일정도 12시간씩 공부하고 작년 모고 쳐봄...
-
무물할래 4
암거나 심심해
-
반갑다 6
난 A+ 5개 대학을 부시고있는 허푸린이다
-
진짜 크구나... 6모기준 수학 3점 실수 하나만 안 했어도 서성한 자연과학에서...
-
의대 증원 확정으로 인해 내년 의대 반수가 쉬울 거라고 예상하시고 행복회로 돌리시는...
-
취하느듯 1
-
수1 수2는 시발점 강의를 다 돌렷구요 쎈b은 반 정도. 시발점 워크북은 2/3...
-
왜 여행가는 날 오는 거시냐.. (장마철임) 부탁하마..
-
작수 3
언미영물화 65 96 62 47 41 반수하는데 화학 사탐런??
-
이거 맞냐? 6
영어 커리큘럼 어케 할까?지금 션티 현강 듣고는 있는데 평일에 시간내서 가는거고...
-
잠안온다 4
ㅜ
-
보닌 현허ㅏㅇ 3
0.9 꼬기
-
불편하네
-
현역 논술로 중앙대 왔습니다 (문과) 과가 생각보다 저랑 안맞기도 하고 현역이니...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/almeng/025.png)
진짜 천잰가 잘 읽고 갑니당![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
뿌듯하네요 ㅎㅎ 감사합니다pi/2 차이이면 곱이 -1이다... 처음 알았네요!
좋은 정보 감사합니다!
수직인 두 직선의 기울기의 합이 -1이다를 처음 알지는 않았을텐데요..
정확히는 (n+1/2)pi를 쓰려고 했어요. tan값과 그 그래프와 연결지으려는 생각은 깊게 하지 못했었다는 뜻이에요. 수직인 두 직선의 기울기의 곱이 -1인건 물론 기본적으로 알아야 하는 사실이고요.
와우 님 뭐꼬