아무리 효율 따져도 결국에는
노력과 양이 필요합니다. 재능이 넘치는 사람도 하루에 10분 끄적거리면 큰 성장을 이루어 큰 성과를 내기는 어렵습니다. 또한 수능 공부는 재능이 있든 없든 노력으로 극복 가능한 영역입니다. 우리는 지금 대학원 와서 본인 주제에 관한 연구를 하고 있는 것이 아닙니다, 주어진 내용 주어진 대로 받아들여 적절히 활용하는 연습을 할 뿐입니다. 여담이지만, 그렇기 때문에 그 누구도 '완벽히 안다'라고 말할 수는 없다고 생각합니다. 교사든 강사든 출제자든 모르는 것이 있을 수 있다고 생각합니다. 그것을 발견했을 때 기존 자신의 논리에 끼워맞추어 설명을 전개하기보단 '나도 잘 알지 못했는데 실제로는 이렇게 생각해야했더라. 수험생 분들은 내가 범한 이 오류를 보고 이러한 것들을 챙겨가시면 좋겠다'와 같은 식으로 대응하는 것이 더 적절하지 않을까 하는 생각이 있습니다.
중고등학교 때나 대학에 와서 밴드에서 건반을 연주하던 때가 있습니다. 이때 만약 A라는 곡을 무대에 올리기로 결정한다면 저는 적어도 두 달 동안 그 곡을 하루에 20번씩은 들었습니다. 근데 이게 그냥 틀어두는 것이 아니고 계속 한 곡만을 반복 재생하며 '이 부분에는 이런 느낌을 살리면 좋겠구나'라거나 '여기만 코드 진행이 살짝 다르니 이걸 강조해서 멜로디를 짜보면 재밌겠다'와 같은 생각을 심화시켜가며 시간을 보내는 것입니다. 저는 이렇게 하지 않으면 곡에 대한 전반의 이해나 특정 부분에서 건반이 살려주어야할 포인트들을 기억하지 못해 질리도록 한 가지 곡을 듣곤 했습니다. 지금도 종종 중학교 때 함께 도 대회 준비했던 친구들을 만나면 그때 함께 준비했던 곡을 다시는 듣고 싶지 않다는 말을 하며 회상 놀이를 하곤 합니다 ㅋㅋㅋㅋ
공부도 마찬가지라고 생각합니다. n제 한 권 푼다고, 새로운 실전 개념 하나 익힌다고 큰 성장을 이루는 것이 아닙니다. 대부분의 사람들은 기억력이 좋지 않습니다. 좋지 않은 기억력을 갖고 제대로 된 내용을 오래 기억하기 위해서는, 다시 말해 주어진 내용을 장기기억화하기 위해서는 반복이 필수라고 생각합니다. 고등학교 3학년 때의 저는 제가 뛰어나지 않음을 잘 알고 있었고 그래서 많은 컨텐츠를 접하는 것이 무의미하다고 생각했습니다. 고등학교 3학년으로 올라가던 겨울방학과 수능을 한 달 앞둔 10월까지 제가 매일 했던 유일한 것은 한완수 펼쳐두고 계속 고민하는 것이었습니다. 회독 수로 환산한다면 적어도 모든 부분을 10회독은 했던 것 같습니다. 잘 이해가 가지 않거나 어려운 부분은 30회독은 했던 것 같습니다. 과장이 아닙니다, 저는 항상 한완수 5권을 가방에 챙겨다니며 수학 공부 하다가 조금이라도 논리적으로 설명하지 못하겠는 부분은 바로 한완수에서 해당 설명을 찾아 읽어보고 다시 스스로 설명해보곤 했습니다. 그래도 하루 지나면 잊어서 다음 날 또 같은 부분을 펴 또 읽어보고 스스로에게 설명해보곤 했습니다. 이때 앞서 언급한 밴드 이야기와 마찬가지로 단순히 회독 수에만 초점을 두는 것은 무의미합니다. 그냥 읽는 것이 아니고 '이것은 이렇게 기억하는 게 더 기억에 잘 남겠다'라거나 '음함수 미분법에서 각 변수에 대한 특정 상황에서의 값을 모두 구해 답을 내는 것이 적절한가? 그런데 [2020학년도 수능 가형 30번] 같은 경우는 모든 값을 직접 구할 수는 없었잖아. 그럼 어떻게 상황을 정리해보는 것이 적절하지?와 같은 생각을 심화시켜가며 시간을 보내는 것입니다.
점점 평가원은 수능 수학은 본질적인 이해를 요구하는 방향으로 문제를 만들어갈 것처럼 보입니다. 어찌 보면 당연하다고 생각합니다. 과거 평가원 기출 문항들을 볼 때 교육청이나 다른 대부분의 사설 컨텐츠들과의 차이점을 살펴보자면 본질적인 것들을 묻고 있다는 점이 차이로 존재한다고 느꼈습니다. 이것저것 해본다고 답이 나오는 것이 아니고 핵심적인 사고 과정 하나를 끄집어내지 못하면 답을 낼 수 없는 문제, 반대로 핵심적인 사고 과정 하나만 잘 끄집어내면 이것저것 할 필요 없이 바로 답이 나오는 문제. 다행인 것은 이 핵심적인 사고 과정에 해당하는 대부분의 것들이 우리가 교과서 설명을 읽으며 파악할 수 있던 내용이라는 점이라 느꼈습니다. 제가 한완수를 좋아하는 이유는 그것이 수학을 못하는 학생들을 수학을 잘하는 학생들의 사고과정을 따라가며 공부해줄 수 있게 돕는다는 점도 있지만 교과서에 있는 내용들을 빠짐없이 정리해 그 내용들만을 갖고 문제를 푸는 훈련을 시키기 때문입니다. 그렇게 주어진 틀 내에서 사고 과정을 확장해가는 훈련을 해본 뒤 실전 개념을 익혀 문제 풀이에 적용하는 학생과, 주어진 틀과 새롭게 확장된 내용 사이 아무런 경계를 의식하지 못하고 보이는 대로 문제를 푸는 학생 사이의 실력 향상 속도에는 차이가 존재할 수밖에 없다고 생각합니다. 그리고 그 차이가 시간이 흐를수록 점차 커지는 것도 필연적이라고 생각합니다.
이번 2024학년도 6월 평가원 모의고사에서의 수학 문항들도 새롭게 보이는 발문과 조건들이 많았다 느낄 수 있지만 결국엔 본질적인 이해를 묻고 있었습니다. 특히 일부 새롭다고 느낀 문항들의 경우 ebs 연계교재 (수능특강, 수능완성) 를 확인하면 똑같은 문제가 있었음을 발견할 수도 있었습니다. 저는 2022학년도 수능을 보고 대학에 왔고 2023학년도 시험지들과 이번 2024학년도 6월 시험지를 중점적으로 보고 있는 입장에서 과거에 평가원 시험지들이 어땠는지에 대해선 부족한 이해도를 갖추고 있지만 적어도 이 3년에 대해서는 기존 평가원 기출 문항과 당해 ebs 연계교재만 똑바로 학습해도 못 풀 문항은 없다고 느꼈습니다. 따라서 여러분도, 특히 공부하는 것에 비해 성적이 잘 오르지 않는다 느끼거나 이번 6월 모의고사에서 80점 이하의 점수를 받으신 분들은 사설 n제와 실모 푼다고 시간이 쫓기지 말고 남들 하는 거 다 따라한다고 시간 쫓기지 마시고 기출과 ebs부터 확실히 공부해보시는 것은 어떨까 싶습니다. 이 또한 마찬가지로 단순히 읽고 풀고 오답하는 것은 부족합니다. 생각을 심화시킴이 포함된 반복 학습을 통해 본질적인 이해를 갖출 수 있도록 나아가야합니다. 여기서 본질적인 이해라 함은, [2024학년도 6월 12번]을 예시로 둔다면, 등차수열이라는 말을 보자마자 '이웃 한 항 사이의 차이가 일정한 수열'이라는 정의를 떠올려 이를 문제 풀이에 적용하는 것과 같습니다. 그럼 이 문제는 보자마자 수열 {an}의 간격이 d이고 {bn}의 간격이 2d이므로 a1, a3, a5가 2d의 간격으로 쭉 벌어진 상태에서 (b1, b2, b3) or (b2, b3, b4) or (b3, b4, b5)가 그에 대응됨을 생각해 현장에서 2분 내로 답을 낼 수 있었어야 합니다. 실제로 저는 문제를 처음 봤을 때 이 생각대로 움직여 답을 내고 넘어갈 수 있었습니다. 자세한 것은 이전 이전 이전 글이었나?에 '첫인상 그대로의 사고과정' 파일 확인해보시면 학습에 도움이 될 듯합니다. (물론 첫인상대로의 풀이라 엄밀하진 않은 부분이 있고, 현장에서 답 맞추는 데에 필요할 만한 것들을 담아두었습니다. 저 또한 배워가는 중에 수험생 분들께 도움을 드리고 있는 위치다보니 모르는 것이 있을 수 있고 틀린 부분이 있을 수 있습니다. 발견하시면 알려주시기 바랍니다, 배워가겠습니다)
수험생 분들 모두 6월 모의고사 응시하시느라 수고하셨습니다! 이제 날이 더워지고 수험 생활의 2phase가 마무리 된 느낌이라 (저는 고3 3모 전까지를 1phase, 6모 전까지를 2phase, 9모 전까지를 3phase, 그리고 수능까지를 4phase로 생각하곤 해요) 지치고 정신적으로 힘드신 분들도 많을 것입니다. 생각보다 수험 생활은 힘듭니다. 우울증 약 복용해가며 공부를 이어가시는 분들도 있고 하루 종일 울며 아무것에 집중하지 못하시는 분들도 있습니다. 지금까지 무너지지 않고 잘 버텨온 것만으로도 충분히 잘 하고 있으신 겁니다. 남은 두 개의 phase도 무너지지 말고! 내게 주어진 시간을 내가 주인이 되어 후회없이 보낸다는 생각으로 하루 하루, 한 순간 한 순간 소중히 보내시길 바랍니다. 오늘 오후도 파이팅입니다! 다들 2024학년도 수능에서 만족스러운 결과 얻고 대학에 가 원하시는 미래를 그려가시길 응원하며 글 닫습니다.
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좋은 글 잘 읽었습니다!책참님도 파이팅입니다:)
감사합니다! 이제 열심히 총수요 총공급 하고 와야겠네요
저 문제를 풀었는데요 음.. 일단 an은 등차수열 한 항이 정해져있고 공차를 모름 bn은 새로운 수열 일단 나열… 아 당연히 공차 가 2d 구나 집합에서 쫌 쫄고 세개가 중복 된다고? 에서 엄청 굳었어요 머리가 세개가 중복되려면 .. 생각하다가 어떡하지? 엄청 시간 끌고 일단 bn 중 하나가 -4면 안 되는구나 하나를 -4-d로 놓고 했더니 그제야 보이더라구요 근데 또 케이스가 딱 두개 나왔잖아요 또 그 케이스 분류 즉 정리하는 거에서 시간을 엄청 썼어요 저도 보자마자 틀 잡고 쓱쓱 깔끔하게 정리 이렇게 되고 싶은데 이게 정말 근본적인 문제점 같아요 어떡해야 할까요..?
세 개가 중복 된다고? 에서 엄청 굳었어요 머리가 세개가 중복되려면 .. 생각하다가 어떡하지?
를 해결하기 위해서는 '우선 대충 이렇게 된다고 해볼까?'라고 생각해보심이 어떨까 싶습니다! 좋게 말하면 가정이고 좋지 않게 말하면 안 보이니까 아무거나 하나 찍어보는 것인데, 이렇게 [예시 들어 핵심 파악] 하는 것은 수능 수학은 물론 대부분의 문제 상황 해결에 있어 도움이 되는 사고 방식이라고 느꼈습니다. 저는 한완수에서 기출 분석하며 배울 수 있었어요, [예시 들어 핵심 파악]이 하나의 사고 과정으로 명시화되어있거든요!
위 문제에서 세 개가 중복된다면 우선 (a1, a2, a3)가 (b1, b2, b3)과 일치하는 경우의 수를 생각해볼 수 있습니다. 그 전에 a2=-4임이 주어졌으니 {an}=-4-d, -4, -4+d, -4+2d, -4+3d, ... 로 표현해볼 수 있겠고 {bn}=-8-d, -8+d, -8+3d, -8+5d, -8+7d, ...로 표현해볼 수 있겠죠? an=d(n-2)-4로 나타낼 수 있고 bn=d(n-2)-4+d(n-1)-4=2dn-3d-8로 정리해볼 수 있으니요!
확인해보면 (a1, a2, a3)과 (b1, b2, b3)이 일치할 수는 없습니다. 그러려면 a2=b2가 되어야 하는데 d=4로 했을 때 a1, a3과 b1, b3이 일치하도록 짝 지을 수가 없죠? 이때 등차수열의 정의가 '이웃 한 항 사이의 차가 일정한 수열'임을 생각하면 an은 항 간 간격이 d고 bn은 2d이기 때문에 연속한 세 an의 항들이 연속한 세 bn의 항들과 일치할 수 없음도 확인할 수 있겠습니다. 여기서 조금 더 생각을 해보면 연속한 세 bn의 항이 아닌 띄엄띄엄 놓인 bn들을 선택해버리면 간격이 2d보다 더 벌어지는데 (4d, 6d) 그럼 an에서는 네 칸 건너뛰는 것이므로 세 가지를 선택할 수 없음을 느낄 수 있습니다. (이 느끼는 부분이 잘 와닿지 않으실 수도 있을 것 같아요)
예시들어 확인하기 저도 환완수에서 배워서 잘 써먹고 있는데 주로 수2에서 많이 했지 수열에서도 할 수 있군여 제가 수열에 취약해서
답변 감사합니다
또 12번은 등차수열은 일정한 발자국을 남기는 수열로 해석해서 그림그리면 세가지 케이스 밖에 나오지 않는다는 것이 한눈에 보이더라구요!
앞서 말씀드렸던, 제가 보자마자 떠올린 풀이가 말씀해주신 등차수열의 정의를 이용한 풀이입니다! 아주 굿이에요
혹은 정 보이지 않을 때 다 해보시는 것도 방법! 집합 A의 원소 중 3개를 고르는 것은 5C3=10가지 경우의 수이고 집합 B의 원소 중 3개를 고르는 것은 5C3=10가지 경우의 수이기 때문에 셋씩 골라 놓는 것은 10*10=100가지 경우가 존재합니다. 하나씩 해보시다 보다가 위의 사고과정이 다가오면 그대로 따라가시면 되고 그렇지 않으면 100가지 모두 해보시면 되겠습니다. 한 경우 당 빡집중해서 30초 정도라 생각하면 50분밖에 안 걸려요!
미적 29번에서 충격을 받았던게... 29번이 수특을 빼다 박았더라구요. 그런데 수특을 펴보니 그 문제를 제가 깔끔하게 풀어놨습니다. 그런데도 시험에서는 29번에 시간을 왕창 쓰고 결국 풀지 못했다는게 참... 허망하더라구요
저도 최석호 선생님? 글에서 확인했습니다. 2022학년도 6월에도 수특에서 썼던 발문을 그대로 넣어놔서 현장에서 보자마자 문제를 접근할 수 있었던 기억이 있는데 (미적분 step 3에서 제시된 발문이 15번 수1으로 출제되었습니다) 이번엔 거의 똑같더라고요 ㄷㄷ
깔끔하게 풀었었는데 현장에서 해결하시지 못했다면 사고과정을 정리해보심이 어떨까 싶습니다. 이를테면 'A면 B 해보자'와 같은 것에서 A는 음함수가 제시되고 접선의 기울기를 물은 상황, B는 음함수 미분법을 통해 바로 dy/dx를 구해보는 상황 <- 이런 식으로요!
사실 이렇게 내 사고 과정에 규칙을 부여하는 것이 그리 좋은 것은 아니라 생각하는데 (결국 유연한 사고와 융통성이 중요하다고 생각하기 때문) 어느 정도는 그렇게 해보는 것이 실력 향상과 그에 따른 성적 향상에 도움이 된다고 느꼈습니다. 특히 저처럼 수학 재능이 없는 사람들은 그렇게 해서라도.. 실력을 쌓아가는 것이 적절할 수 있을 듯요
저는 9번, 12번 문항에서 평가원이 주는 메시지가 느껴졌는데, 상황을 파악하기 어렵다면 나열하거나 상황을 가정해서 규칙을 찾아보라는 것 같았습니다. 12번은 bn의 공차가 2d이고 그러니 b3이하에서 a1과 같아지는 것이 생겨야 한다를 바로보는 것은 꽤 쉽지않았다 생각하는데, d=1일때를 생각해보고 d=2일때, -1일때 생각하면서 규칙을 파악해도 충분히 괜찮다라는 생각입니다. 9번의 경우에도 수열의 합을 보고 일반항을 바로 보면 좋겠지만, 안보이더라도 1부터 넣어보면서 1/1×3, 1/3×5, 1/5×7 형태로 나가는 것을 파악할 수 있게 출제한 듯 싶구요. 같은 맥락에서 15번 문제도 대부분 출제의도를 따지기보다는 노동으로 풀었다라고 들은 것 같습니다,
예시 들어 핵심 파악해보는 것은 1990년대와 2000년대 기출에서도 발견할 수 있는 평가원 문항 해결의 주요 사고 과정입니다! 저도 한완수에서 2000년대 기출 풀며 배웠어요
12번에서 문제 상황에 대한 어색함을 느낀다면 말씀하신 것처럼 d=1, 2, ... 해보며 생각해보는 것이 아주 좋은 사고 과정이라고 생각합니다!
9번은 수열과 그에 대한 합이 주어졌을 때 n번째 항까지 더한 값에서 (n-1)번째 항까지 더한 값을 빼면 n번째 항이 나온다는 아주 기초적인 개념을 적용하면 바로 풀리고 우리가 한 번에 정보를 파악하기 어려운 수열에 관해 이 관계를 이용해보는 것은 아주 기초적인 예제들에서도 익힐 수 있습니다. 따라서 예시 들어 보는 것이 좋긴 한데 이 정도는 보자마자 기계적으로 풀어도 괜찮지 않나 싶었어요. 특히 an에 관한 정보 정리한 후에도 부분분수 쪼개어 망원화 하라고 시켜서 저는 마플 교과서 같은 내신 문제집 한 권만 똑바로 풀었어도 바로 답 나왔어야한다 생각..
15번 같은 귀납적으로 정의된 수열 문항은 원래 현장에서 깔끔하게 규칙 설명하기는 어렵기 때문에 대부분 대입과 경우의 수 분류로 해결하곤 합니다, 아마도 그것을 '노동으로 풀었다'라고 말씀해주신 것 같네요! 저는 수능 때도 그렇게 풀면 된다 생각합니다. 규칙 예쁘게 설명하는 건 수능 끝나고 현우진 선생님 해설 강의 보며 ㅋㅋ 현장에서는 대입과 예시 들어 핵심 파악과 경우의 수 분류!
1. 완수 교재에 푸심 노트에 푸심?
2. 인강은 비추하시는 편인가요?
1. 수학 학습에 활용한 모든 자료를 공부할 때는 따로 노트 마련해서 거기 풀었습니다, 지금도 공부했던 책들 중에 새 책 같은 것들 꽤 있어요!
2. 개인의 학습 성향에 따라 활용하는 것이 좋다고 생각합니다. 다만 인강은 결국 한 번 본 다음에 복습하려면 내가 따로 정리해두지 않는 이상 다시 강의를 들어야한다는 점에서 시간 활용을 비효율적으로 하게 될 수 있다고 생각해요. 그래서 본인이 강의 내용을 노트로 정리해두든, 혹은 한완수 같은 책 한 권을 잡든 해서 후에 빠른 시간 내에 복습을 진행할 수 있도록 '단권화' 따위를 해둘 필요가 있다고 생각합니다.