'모든'의 논리적 오류 | 6평 미적 28번

※ 6월 10일, 글 내용을 좀 더 상세하게 영상으로 풀어서 올렸습니다.

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독해와 논리를 가르치는 이해황입니다.

이번 미적 28번 논란이 흥미로워서 짧게 글을 써봅니다.

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2024학년도 6월 모의평가 수학 28번(미적분)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)에 대하여

{f(x)}²+2f(x)+1이 x=1에 대칭이라면,

{f(x)}²+2f(x)+1 = {f(x)+1}²이므로

{f(x)+1}² = {f(2-x)+1}²이 성립합니다.

따라서 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수 있습니다.

그런데 이로부터 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or 모든 x에 대하여 f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수는 없습니다.

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"모든 사람은 남성이거나 여성이다."가 참일지라도

"모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 도출되지는 않습니다.

왜 그런지 바로 이해가 되는 분들도 있겠지만, 그렇지 못한 분들을 위하여 

사람이 p, q 둘만 있는 가능세계¹⁾를 살펴보겠습니다. 

각주 1) 가능세계는 2019학년도 수능 국어영역에도 나왔고 PSAT/LEET에 모두 나온 적 있는 중요 논리학 개념입니다. 만약 이 개념을 잘 모른다면 가장 쉽게 이해하는 '가능세계' [두뇌보완계획100] 3분짜리 영상을 참고해주세요.

이때 가능한 세계는 아래 표와 같이 4가지입니다.

"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 w1, w2, w3, w4 모두에서 참입니다. 

반면 "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."은 w1(모든 사람이 남자)와 w4(모든 사람은 여자)일 때만 참이며 w2, w3일 때는 거짓입니다. 

정리하자면, "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 참이면

"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 참이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.

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논리학자들은 '모든'을 ∀으로, or(이거나)는 ∨으로 나타냅니다. ∀는 all을 뒤집은 것이고, ∨는 or를 뜻하는 라틴어 vel에서 가져온 것입니다. 참고로 and(이고)는 ∨를 뒤집은 ∧으로 나타냅니다.

지금까지의 논의를 기호를 활용하여 간결하게 나타내면 다음과 같습니다.

∀x(Ax∨Bx) ≢ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)

구체적으로는 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx), ∀x(Ax∨Bx) ← ∀x(Ax)∨∀x(Bx)로 분리하여 생각할 수 있습니다.

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2019학년도 LEET 추리논증에 이러한 변별을 묻는 문제가 나온 적 있습니다. 지금까지의 논의를 잘 따라왔다면, 아래 고난도 문제를 단박에 풀 수 있습니다. 핵심은 ㄷ입니다.

논리훈련이 되어 있지 않은 분들은 ㄷ을 적절하다고 판단합니다. 그런데 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)이므로 ㄷ은 적절하지 않습니다. 즉, "모든 환자에게서 병원균 α와 β 중 적어도 하나가 검출된다"가 참이라고 해도, "모든 환자에게서 병원균 α가 검출되거나 모든 환자에게서 병원균 β가 검출된다"가 참이라고 할 수 없습니다. (참고로 정답은 ② ㄴ입니다.)

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지적 호기심이 있는 분들을 위하여 양화사 분배에 대한 몇 가지 성질을 적어두겠습니다. 2에서 제가 표를 그린 것처럼 가능세계를 중복없이 누락없이 떠올려보면 충분히 혼자 이해할 수 있을 겁니다. 

①∃x(Ax∨Bx)≡∃x(Ax)∨∃x(Bx)

②∀x(Ax∧Bx)≡∀x(Ax)∧∀x(Bx)

③∃x(Ax∧Bx)≢∃x(Ax)∧∃x(Bx)

④∀x(Ax∨Bx)≢∀x(Ax)∨∀x(Bx)

이때 ∃는 "어떤 ~가 있다"는 뜻으로, there exists에서 가져온 기호입니다.

참고한 자료

1. 2024대비 6월 모평 미적분 28번 대칭성 풀이의 논리적 오류에 대하여

2. 논리개념 매뉴얼5.0(이해황, 2023) (2의 설명은 이 책에서 가져옴)