칼럼) 수학은 어떻게 공부해야 하는가 - 능동사고
안녕하십니까 의머생 조유리입니다.
슬슬 장마도 끝나고 수험생활도 중후반부로 접어드는 타이밍인데요, 요즘따라 유독 수학 점수가 안 올라 고민이라는 분들이 많이 계셔서 이에 대해 도움을 주고자 한 번 글을 적게 되었습니다.
이 글은 70점대 초반부터 80점대 후반대의 점수를 받는, 3등급에서 1등급 초입분들의 실력 향상을 위한 글입니다.
들어가기에 앞서, 수학 공부에서 제일 중요한 것은 무엇일까요? 여러 가지 답이 있겠지만 그중에서도 ‘양치기‘라는 대답이 가장 많이 나올 거라고 예상합니다.
양치기, 물론 효과적인 공부 방식이나 아주 큰 한계가 있습니다.
바로 유통기한이 존재한다는 것인데요, 새로운 개념을 배울 때나 새로운 유형의 문제를 풀 때는 양치기에 비례해서 정답률과 점수가 오릅니다. 여러 번 반복하면서 그 유형에 숙달이 되기 때문에 가능한 것입니다. 하지만 어느 정도 수준에 도달하면 더 이상 얻는 것이 없습니다. 그저 기계적으로 “삼차함수가 나왔네? 미분해야지.“ 이렇게 무지성으로 풀게 됩니다.
여기서 제가 강조하는 것은 ‘능동사고’입니다. 저는 공부를 할 때 능동성을 강조합니다. 능동사고란 문제를 풂에 있어 스스로 생각을 하는 것을 말합니다.
단순히 이 식을 보면 미분을 해야 돼가 아닌, 이 식을 볼 때 왜 미분을 해야하는가를 능동적으로 생각해야 합니다.
또 조건에서 무엇을 얻을 수 있는지, 조건에서 얻은 정보를 어떻게 가공해야 문제를 풀 수 있는지, 이 식이 왜 나올 수밖에 없는 지에 대해 필연성을 부여하는 방식으로 공부를 하셔야 합니다.
우선 능동사고를 이용한 문제 풀이를 보여드리겠습니다.
다음은 22학년도 9월 모의고사 20번 문제입니다.
다들 보셨나요? 능동사고의 핵심은 질문과 대답에 있습니다. 지금은 제가 풀이에 Question과 Answer를 나눠서 적었지만 저 일련의 과정을 여러분은 머릿속으로 하시면 됩니다.
우선 문제에서 묻는 바를 확인합니다. 이 문제에서는 방정식의 실근의 개수가 4가 되도록하는 정수 k의 값에 대해 물었습니다.
Q. 실근이 4개라는 말의 뜻이 뭘까? (문제에서 묻는 바를 확인)
= 미지수를 한 쪽으로 몰아넣었을 때 그 식과 y=k와의 교점의 개수가 4개이다.
Q. 그 교점은 어떻게 구할까?
= 함수를 정리해서 그린 후 y=k와의 위치 관계를 따져야한다. 그러려면 우선 절댓값 기호를 벗겨야한다. (절댓값 기호 처리 필요성에 대한 이유를 부여)
Q. 절댓값 기호는 어떻게 벗길까? (풀이 방법에 대한 능동적 사고)
=절댓값 기호 안에 있는 식인 f(x)+x의 x값에 따른 부호를 조사한다.
(중략)
한 문제 더 보겠습니다. 다음은 22학년도 수능 30번입니다.
이 문제 역시 문제에서 묻는 바를 우선적으로 확인합니다.
Q. 문제에서 묻는 바는?
A.
이후 문제에서 주어진 단서들을 어떻게 쓸 수 있게 가공할지 생각합니다.
Q. 문제에서 어떤 단서들을 뽑을 수 있는가?
A. f(1)=1 >> g(2)=2=f(2) (q. 어디까지 구하는가?)
f(2)=2 >> g(4)=4=f(4) (a. 적분구간인 1~8까지 - 이유 부여)
f(4)=4 >> g(8)=8=f(8)
+
결국 적분 구간 2~4, 4~8 f(X) 적분 식의 값만 구하면 답이 나온다는 것을 알 수 있습니다.(정답한정)
이후는 치환 적분 x=g(t)와 (나) 조건을 이용해 계산으로 마무리하면 됩니다.
마지막으로 정리를 하자면 수학 문제를 풀 때 본인이 어느 정도 수준에 도착했고 점수에 정체기가 찾아왔다면 능동사고를 하는 연습을 하셔야 합니다. 능동사고의 핵심은 스스로에게 질문을 던지고, 그 질문에 답을 찾는 과정에 있으며, 그 과정의 의의는 본인 나름의 이유를 대어 필연성을 부여함에 있습니다.
말 그대로 능동, 즉 문제를 푸는 내내 끊임없이 생각을 해야하기 때문에 귀찮을 수 있으나 절대 건너뛰면 안됩니다.
만약 문제를 풀 때 근거를 못 찾겠으면 일단 풀고 나중에 채점할 때 해설지와 함께 보면서 근거를 찾아봐야 합니다. 설사 문제를 맞췄더라도 이 과정을 생략하시면 안됩니다. 이번 한 번은 근거 없이 맞췄을지라도 다음에 비슷한 문제가 나올 때 맞추리란 보장이 없기 때문입니다.
귀찮은 것을 꼼꼼히 잘하는 학생이 실력이 제일 빨리, 많이 오릅니다. 공부는 변태처럼 할 필요가 있습니다.
또 문제를 풀 때 단순히 눈앞에 있는 N제를 해치운다기보다 진짜 문제에서 무언가를 얻어가겠다는 마음가짐으로 푸셔야 실력 증진이 있을 것입니다.
추가) 공부 관련 질문은 쪽지나 옾챗으로 주시면 확인하는 대로 답변해 드리겠습니다!
0 XDK (+6,300)
-
5,000
-
100
-
100
-
100
-
1,000
-
좀전에 다른분께서 올리신 문제인데 풀이가 엄청 다양할거같네 풀이 공유 부탁해!...
-
안녕하새요오늘은물리12024년5모17번을풀어볼거에요 딱 빡 끝 감사합니다
-
9평이면 몰라도 6평 성적으로 텔그 낙지 열심히 돌리면서 쓰는 시간이 좀 아깝다고...
-
과탐은 24수능과 유사한형태 표점도 은근히 비슷함 수학은 23수능과 유사한형태임...
-
진짜 빨리태어난게 다행일정도임... 요즘 보면
-
지1 내신 억까로 1등 놓쳤다고 시험지 보는중인데 그 틀린 문제에서 오류 찾아서...
-
과외쌤이 레벨3 포함해서 수특만 다 풀 줄 알면 3은 뜬다고 제 목표가...
-
사문 다했다 11
요즘 안나오는 통계부분빼고 다했다 실모도 대충 1개 틀리는듯 이제 정법 달려야지 다 까먹었네
-
230913 2
은 현역 때 학교에서 봤는데 풀어서 맞춘 기억이 ㅋㅎㅋㅎㅋ 당시 통통이 4등급 받은 기억이 있음
-
수학 100점 600명넘는다 거의 700명임 표점은 1등인데 이거 수능이면...
-
ㅅㅂ 내가 이렇게 멍청했던가 ㅈㄴ 안 풀리네.. 나도 고정 92되고 싶다
-
지1 지엽적인 문제 연습하기 좋은 문제집 잇을까요? 0
이렇게도 물어볼 수 있구나? 싶은 문제들 연습하고 싶습니다 ..
-
국어 3목푠데 1
문학이랑 화작만 계속 해도 될까요? 독서 항상 1지문반~2지문날리는데 문학화작에서...
-
기출정식 사면 제공되는 pdf 학원에서 푸는데 이상하게 신경 쓰이네
-
왜 내가 없는 사이에 은퇴하셨습니까... 옛날 기억이 좀 있긴 한데 그래도 그냥...
-
텔그 설대 믿을만함? 10
ㅈㄱㄴ
-
요렇게 뜨는 거 같은데.... 집모라서 의미가 없다는 걸 알면서도......
-
메인글 지금봤네 0
X발난그냥자살이나
-
텔레그램이랑 겹치니까 텔노라던가 텔스라고 부르는 게 더 나을지도
-
파이널 못듣는다고 봐도 됨?
-
사실 수열을 잘 못해서 수열 문제를 잘 못 만듭니다. 케이스를 많이 나오게 만들어서...
-
고1때 이후 공부라곤 정말 1도 안했었는데 이정도면 충분히 잘 할고있어 할 수 있다...
-
강대X 0
빡모보다 어려운것같네 13번,20까지 풀었더니 체력이 확 빠짐;;
-
안녕하세요 건동홍 분교 공대에 재학중인 04 여자입니다(군대나 가라고 하실까봐..)...
-
생2지5 미적분 현역 정시충 도저히 각이 안 나오길래 사탐런 치려 하는데요 과목...
-
어나더레벨이노;;
-
ㅋㅋ이거허락맞제 2
인생필시간 134일
-
6모는 65점 나왔는데 최근에 빡모 시즌1 다 풀고 킬캠도 어제오늘해서 1,2회차...
-
생명과학1 미니 모의고사 1회분 무료 배포 합니다! 0
안녕하세요! 생명과학1 미니 모의고사 1회분을 무료 배포하려고 합니다....
-
기출 빠르게 끝내고 실모벅벅간다
-
스킬(?)이라고 말씀드리기엔 정공법에 가깝지만 이 스킬은 이런 분들에게...
-
계절학기 듣다보니까 11
공강시간에 계속 마주치는 과 동기랑 내적친밀감 생김 말 걸어보고 싶은데
-
6모&작수 14
13 20 틀린새기가접니다 넵
-
질문 수정)어느 과목 올리는게 낫나요??
-
어디까지 포기 가능? Elo레이팅 2500 안전하게 넘긴다고 쳤을 때
-
지구과학 시험문제인데 오류 확인좀 부탁드립니다.ㅠ.ㅠ 7
아이가 이의제기 하러 갔는데 5번이 맞다고 하시는데. 아래처럼 설명해주셨다는데 맞는지요.ㅠ.ㅠ
-
얼부기 12
-
나는 학교에서 치고 친구는 학원에서 쳤는데 난 굴림체st고 친구껀 좀 굵은 글씨체임뇨
-
ㅅㅂ 진짜 무슨 짓을 한 거냐 ㅋㅋㅋ 킬러 있다고 할 때가 1등급 퍼센티지가 더...
-
있으면 후기좀 에어 M2도 후기좀
-
운이 좋았던 거 같음 그리고 드는 생각은 ㅅㅂ 왜 과탐했지 겨울방학 때 이젬 현역이...
-
우리학교는 문과에서 6모 수학 2등이 60점 겨우 넘는데 혼자 84 이러니까 다들...
-
투표 0
ㄱㄱ
-
기말 끝나자마자 탐구 우선 지구과학 위주로 제대로 시작하겠습니다..
-
김동욱t 생각중인데 혹시 지금부터 들으면 어떻게 커리타는게 좋을지나 다른선생님 추천...
-
평가원보다 어렵나요
-
걍 시험친 학원가서 받는게 정신건강에 좋을수도... 만약 학교라면 그냥 팩스 기다리고..
선개추후감상
요즘이렇게하는데굉장히고행입니다...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/030.gif)
힘든 길 맞아요 하지만 제대로 하면 이만큼 실력 오르는 방법도 없죠!![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/020.png)
꼼꼼하게 읽어볼게요!선추천
칼럼 올리신다고 하셨을때부터 기다리고있었는데 드디어 올라왔네요!
요즘 수학성적 올리기에 시간을 많이 쏟고 있었는데 꼼꼼히 읽어보고 공부하는 과정에 적용해보도록하겠습니닿!!:) 감사함니당
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/005.gif)
공부끝나면 다시 읽어봐야겠네요.좋은글 감사합니다-!
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
덕코 감사합니다좋은 글입니다!
기출 말고도 엔제로도 이렇게 하셨나요? 아니면 그런걸 추천하시나요?
기출, n제 모두 이렇게 진행합니다. 양치기 할 때 그냥 쓱 풀고 지나갔던 기출도 능동사고로 다시 풀면 얻는 게 분명 있을 거에요. N제는 두말할 것도 없고요.
요글 복사해서 pdf 로 만들었어요 내일 인쇄하려고 감사합니당 잘 읽었어요
읽어주셔서 제가 더 감사합니다!
기출 분석 고고혓!
원래 머리 깨지면서 성장 하는건데 많이들 간과하죠 ..
질문 속에 답이 있죠 :)
수업에서도 일방적으로 풀어주기 보다~ 좋은 발문을 통해 학생들이 스스로 생각해 보도록 하는 것이 효과적일 때가 많구요 ㅎㅎ
직관을 최대한 배제한 상태에서 문제를 풀라는 말씀이실까요?
네 맞습니다 직관을 쓰기 이전에 근거를 찾는 것입니다. 하지만 늘 근거를 찾긴 힘들기 때문에 직관으로 문제를 푸는 방법이 보인다면 일단 그렇게 풀고 나중에 채점할 때 다시 찾아보거나 해설지를 참고하는 방법도 있습니다.
손글씨 빼고는 정말 완벽하고 유익한 정보인거 같아요! 문제에서 구하라는게 뭐지? -> 그걸 위해 어떤 조건을 주었지? -> 이런 조건을 통해 문제의 답을 구하라는 거구나. 라는 기계적 형태의 문풀이 아닌 능동적 사고를 하라는 거지요?
맞습니다 조건을 보고 바로 식을 적기 전에 그 식을 적는 이유를 부여하며 공부을 해야한다는 뜻입니다! 글씨체는.. 다음 글에서 노력해보겠습니다
ㅇㄷ
쪼율 폼 미춋다
이거 진짜 맞는거 같습니다… 물리는 이 방법으로 공부하는데 수학은.. 노래 들으며 해서.. 노래는 수능 끝나고 듣고 수학도 습관 고치고 제대로 공부해야겠네요 ㅠㅠ