표준점수에 대한 원론적인 이야기

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안녕하세요 [Crux] 환동입니다.

앞서 이번 수능의 정답률을 분석하며 제가 예상하는 등급컷을 Crux 공식 계정을 통해 알려드렸습니다.

그런데 예상 등급컷을 공개해도 더 디테일한 정보를 물어보시는 분들이 많은데, 사실 거기보다 더 깊게 들어가면 이제 예상이 아니라 점을 치라는거나 마찬가지고... 제 예측에 따라 실제 결과가 좌우되는 것도 아닙니다. 불안하신 마음들은 이해하지만 이제 성적표 나오기까지 8일 정도 남았으니 그때까지만 기다려주시면 감사하겠습니다.

수능 성적표가 나오기까지 표준점수에 관해 설명하는 글을 올리려고 합니다

이번 수학 시험에서 미적분이 상당한 난이도로 출제되어서, 이것이 표준점수에 어떻게 영향을 미치는지 궁금해하시는 분들이 계십니다. 현행 국어/수학에서 도대체 표준점수가 어떻게 산출되는 것인지 자세하게 알려드리려고 합니다.

[1편] '표준점수에 대한 원론적인 이야기'에서는 국어/수학 표준점수 산출 방법을 본격적으로 다루기 전에 표준점수에 대한 기본적인 이야기를 먼저 하려고 합니다. 따라서 여러분들이 보고 계시는 이 글에서는 아직 국어/수학 표준점수 계산 방법을 자세히 설명하지 않습니다.

[2편] '현행 국어/수학 표준점수 산출'에서 본격적으로 국어/수학 표준점수 산출 방법에 대해 설명할겁니다. 먼저 기본적인 원리를 설명한 다음에 응용 공식(Ax+By+C)에 대해서 A, B, C가 어떻게 결정되는지까지 설명해드릴 예정입니다. 이게 한 편 분량 내로 쓸 수 있을지는 모르겠으나, 글을 써보고 많다고 생각되면 두 편으로 나누도록 하겠습니다.

* 글을 써보니 분량이 많은 것 같아 두 편으로 나누기로 했습니다.

[2편]에서는 국어/수학 표준점수 산출 원리에 대해 설명하고, [3편]에서는 응용 공식(Ax+By+C)에 대해 설명하기로 하였습니다.

그리고 마지막 [4편] '2024수능 미적분 만점 표준점수 계산 시뮬레이션'에서는 저의 미적분 만점 표준점수 예상치에 대해 리뷰하려고 합니다. 제가 미적분 만점 표준점수 예상치를 151점으로 내놨는데, 업체에서도 가장 높게 내놓은게 148점이라 무슨 말같지도 않은 소린가 싶으신 분들이 많으실 것 같습니다. 

사실 저도 만점 표준점수 예상치를 내놓았을 때 그렇게 구체적으로 따져보진 않았습니다. 미적분이 올해 4월 학평을 연상케하는 역대급 난이도였고, 그만큼 확통과 기하와 표준점수 차이가 매우 크게 벌어질 것 같기에 미적분 표준점수를 확 올려친 것일 뿐이라, 실제로 정말 말 같지도 않은 소리가 될 수도 있습니다.

어쨌든 과연 이 올려치기가 타당했는지에 대해 4편에서 설명하도록 하겠습니다.

그렇다면 지금부터 본격적으로 표준점수의 원론적인 이야기에 대해서 말씀드리도록 하겠습니다.

Ⅰ. Z값 (Z점수)

표준점수를 이해하기 위해서는 먼저 Z값에 대해 이해하실 필요가 있습니다.

Z값이란, 내 점수가 평균보다 표준편차의 몇 배만큼 높은지를 나타내는 지표입니다.

예를 들어서, 위 표와 같이 평균이 50점이고 표준편차가 20점인 시험이 있다고 합시다.

만약에 이 시험에서 70점을 받았다면 평균보다 20점이 높습니다. 

그런데 20점은 표준편차의 몇 배인가요? 1배죠? 따라서 70점일 때 Z값은 1이 됩니다.

90점을 받았다고 하면 평균보다 40점 잘 본 것인데, 40점은 표준편차의 2배입니다. 따라서 90점일 때는 Z값이 2가 되겠네요.

반대로, Z값이 음수가 될 수도 있습니다.

이 시험에서 25점을 받았다고 해봅시다. 그렇다면 평균보다 25점이 낮은 상태입니다. -25를 표준편차인 20으로 나누면 -1.25이기 때문에 25점일 때는 Z값이 -1.25가 됩니다.

그렇다면 딱 평균 점수인 50점을 받았을 때 Z값이 0이 되는 것도 당연히 추론하실 수 있을겁니다.

제가 이후에 글을 서술할때 Z값보다는 Z점수라는 용어를 많이 사용할텐데, 둘이 같은 뜻이라고 생각하시면 됩니다.

Ⅱ. 표준점수 기본

수능에서 표준점수는 쉽게 말해서 Z값을 뻥튀기 시킨 것이라고 보시면 됩니다.

고1~2 국어, 수학은 

Z=0일 때(그러니까 딱 평균일 때) 표준점수가 기본으로 100점으로 주어지고, 

Z점수 1점당 표준점수 20점으로 환산됩니다.

예를 들어, 평균보다 1.5표준편차만큼 잘 본 경우는 표준점수가 20×1.5 + 100 = 130점이 나오게 될겁니다.

물론 평균보다 점수가 낮은 경우에는 Z값이 음수가 되기 때문에 표준점수가 100점 아래로 내려가게 되겠죠?

고3 국어, 수학은 공통+선택 체제라 좀 더 복잡합니다.

20Z를 배점 비율에 따라 공통, 선택으로 분리해서 점수가 산출됩니다.

공통과목의 Z값은 위에서 산출하는 방법이랑 비슷해서 별로 설명할건 없는데, 문제는 선택과목의 Z입니다. 선택과목의 Z값은 산출된 후에 조정 과정을 거치게 되는데, 여기서 설명하기엔 복잡한 내용이니 다음 편에서 설명하도록 하겠습니다.

탐구는 아무래도 원점수가 50점 만점이다 보니 표준점수도 국어, 수학에 비해 절반으로 줄어듭니다.

Z=0일 때 표준점수가 50점으로 주어지고, Z점수 1점당 표준점수 10점으로 환산됩니다.

탐구를 평균보다 1.5표준편차만큼 잘 봤다면 표준점수가 50+10×1.5 = 65점으로 주어집니다. 

국어, 수학에서는 이 조건에서 표준점수가 130점이 나왔는데, 탐구에서는 정확히 절반으로 나온다는 것을 알 수 있습니다.

표준점수를 결정하는 것은 Z값이고, Z값을 결정하는 것은 평균과 표준편차입니다. 

결국 표준점수는 평균과 표준편차에 의해 결정된다고 할 수 있습니다. 

지금부터는 평균과 표준편차가 표준점수에 어떻게 영향을 미치는지 설명하도록 하겠습니다.

Ⅲ. 평균과 표준점수의 관계

먼저 평균과 표준점수의 관계를 말씀드리겠습니다.

표준편차가 같다고 가정하면, 평균이 낮을수록 표준점수가 높아집니다.

예를 들어서, 수학 시험을 봤는데 (공통+선택 체제가 아니라고 가정합시다)

A모의고사에서는 평균이 50점, 표준편차가 25점이고

B모의고사에서는 평균이 45점, 표준편차가 25점이라고 해봅시다.

A모의고사와 B모의고사에서 모두 84점을 받았다면 어느 쪽이 Z점수가 더 클까요?

A모의고사에서는 평균보다 34점 잘 봤고, 이를 25로 나누면 Z점수가 34÷25 = 1.36이 될겁니다.

그런데 B모의고사에서는 평균보다 39점 잘 본 것이기 때문에 이를 25로 나누면 Z점수가 39÷25 = 1.56이 됩니다.

따라서 A모의고사에서 표준점수는 100+20×1.36 ≈ 127점

B모의고사에서 표준점수는 100+20×1.56 ≈ 131점

따라서 같은 84점이더라도 B모의고사에서 A모의고사보다 표준점수가 높게 나옵니다.

평균이 낮을수록 모든 원점수에 대해 Z값이 증가하기 때문에 평균이 낮으면 표준점수가 올라가게 됩니다.

Ⅳ. 표준편차와 표준점수의 관계

이번에는 표준편차와 표준점수의 관계를 말씀드리겠습니다.

평균이 같다고 가정하면, 표준편차가 작을수록 표준점수의 증가/감소폭이 커집니다.

아까와 비슷하게 평균이 같고, 표준편차만 다른 상황을 가정하도록 하겠습니다.

A모의고사에서는 평균이 50점, 표준편차가 25점이고

C모의고사에서는 평균이 50점, 표준편차가 22점이라고 합시다.

A모의고사와 C모의고사에서 모두 80점을 받았다면 어느 쪽이 Z점수가 더 클까요?

두 경우 모두 일단 평균보다 30점 잘 본 건 똑같습니다. 

그런데 표준편차가 A는 25점, B는 22점이니 제수(a÷b에서 b)가 다르겠죠?

A의 경우, 30에서 25를 나누기 때문에 Z점수는 1.2가 되고

C의 경우, 30에서 22를 나누기 때문에 Z점수는 1.3636... 정도가 됩니다.

따라서 A모의고사에서 80점을 받았다면 표준점수가 100+1.2×20 = 124점으로 환산되고

C모의고사에서 80점을 받았다면 표준점수가 100+1.3636×20 ≈ 127점으로 환산됩니다.

C에서가 A에서보다 표준점수가 높게 나왔네요

그런데 이게 다른 점수에서도 그럴까요?

만약 두 시험에서 모두 30점을 받았다고 해봅시다. 두 경우 모두 평균보다 20점이 낮습니다.

A의 경우, -20에서 25를 나누면 Z점수가 -0.8이고

C의 경우, -20에서 22를 나누기 때문에 Z점수가 -0.9090...이 됩니다.

따라서 A에서 0점을 받았다면 표준점수가 100-0.8×20 = 84점으로 환산되고

C에서 0점을 받았다면 표준점수가 100-0.9091×20 ≈ 82점으로 환산됩니다.

이 경우는 오히려 A에서 표준점수가 높게 나왔네요

어차피 평균이랑 같은 점수를 받았다면 표준편차가 얼마든간에 표준점수가 100점으로 똑같겠지만

평균보다 높은 점수를 받은 경우에는 표준편차가 작을수록 Z점수가 더 큰 폭으로 증가하기 때문에 표준점수가 더 높아지게 됩니다.

그러나 평균보다 낮은 점수를 받은 경우에는 표준편차가 작을수록 Z점수가 더 큰 폭으로 감소하기 때문에 표준점수가 더 낮아지게 됩니다.

평균보다 낮은 점수를 받으신 분은 이 글에 관심이 없을 듯 하니, 여러분 기준으로 설명을 드리자면

여러분은 표준편차가 작아져야 더 높은 표준점수를 받으실 수 있게 됩니다.

편의상 평균 이야기를 때는 표준편차가 같다는 가정을 했고, 표준편차 이야기를 할 때는 평균이 같다는 가정을 했는데

여러분이 직접 임의로 두 시험을 선택해서 비교하면 평균과 표준편차가 모두 다른 것이 일반적입니다.

즉, 일반적으로는 평균과 표준편차가 적절히 조화를 이루어서 표준점수가 결정됩니다.

평균이 더 낮아도 표준편차가 크면 표준점수가 생각보다 안 나올 수도 있습니다. 

반대로 평균은 높은데 표준편차가 작은 경우가 있을 수도 있겠죠? 이런 경우에는 꽤 만족스러운 표준점수를 받을 수 있습니다.

물론 표준점수가 증가하는 최적의 조건은 당연히 평균과 표준편차가 모두 작을 때입니다. 

Ⅴ. 현행 국어/수학에서 표준점수 계산법? (2편 예고)

고1, 고2의 국어/수학 시험과 고2, 고3 탐구 시험은 평균과 표준편차만 알고 있다면 지금까지 설명한 방식대로 표준점수를 쉽게 구할 수 있습니다.

그러나 공통+선택 체제인 현행 고3 국어/수학은 표준점수가 그렇게 쉽게 계산되지 않습니다.

예를 들어 위와 같은 방법으로 미적분 선택자의 표준점수를 계산하려고 할 때, 공통과목 원점수, 선택과목 원점수 외에 다음과 같은 6개의 통계량이 관여합니다.

(1) 모든 수험생의 공통과목 평균

(2) 모든 수험생의 공통과목 표준편차

(3) 미적분 선택자들의 공통과목 평균

(4) 미적분 선택자들의 공통과목 표준편차

(5) 미적분 선택자들의 선택과목 평균

(6) 미적분 선택자들의 선택과목 표준편차

(1), (2), (5), (6)은 수치가 작을수록 표준점수가 높게 산출되며, (3), (4)는 수치가 클수록 표준점수가 높게 산출됩니다.

현행 국어/수학이 팀전인 이유가 사실상 (3)~(6)에 있는건데, 구체적으로 이것들이 표준점수에 어떻게 영향을 미치는 것일까요? 다음 시간에 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

[1편] 표준점수에 대한 원론적인 이야기

[2편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (1)

[3편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (2)

[4편] 2024수능 미적분 만점 표준점수 계산 시뮬레이션

크럭스컨설팅 12월 11일(월) 올해 마지막 정시예약

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