[이동훈t] 22번 완전 분석 (241122)
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 2024 수능 수학 공통 22번을
물고, 뜯고, 맛보는 시간을
가져보겠습니다.
이미 분석 글을 올려드리긴 했습니다만. (아래 글)
[이동훈t] 수학 22번 구조 분석 (2024학년도) 수학2
이 문제에 대한 생각이 완전히 정리되었고 ...
더 새로운 생각이 떠오를 것 같지는 않아서
최종 버전으로 다시 올려드립니다.
물론 ...
이 글에서 제시하는 분석만이 옳다.
라고 말 할 수는 없겠습니다만.
아마도 출제 의도에 가장 근접한
해석 중의 하나 일 것입니다.
우선 문제 보실까요 ?
사이값 정리와 도함수(그래프 개형)이
결합된 문제인데요.
문제를 읽고 나서
위의 세 개의 조건이 머릿속에서
다음과 같이 정리되어야 합니다.
붉은 상자 - 함수 (삼차함수의 그래프 개형)
보라 상자 - 사이값 정리 (x절편 결정)
푸른 상자 - 3개의 구간 + 2개의 점 (y절편 결정)
특히 아래 그림과 같이
세 개의 구간과 두 개의 점으로
정의역을 분할 해야 합니다.
위의 그림을 설명하면 ...
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) = 음수
가 주어졌을 때,
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4)) 을
좌표평면 위에 찍는다.
2 개의 경계 x=-1/4, 1/4 로 분할된
3 개의 영역 각각에서
함수 f(x)가 만족시키는 성질을
그림 또는 수식으로 표현한다.
여기까지가 ...
문제를 본격적으로 풀기 전에
해야 하는 밑 작업 입니다.
이 문제를 풀어본 분들은 아시겠지만 ...
푸른 상자를 위와 같이 처리하지 않으면
(=점 찍기와 구간 나누기)
f(0) = 0
을 유도하기 쉽지 않습니다.
이 풀이의 근거는 아래 문제에 있습니다.
미적분 문제인데요.
f(0) = 0, f(루트pi) > 0
에서 두 개의 점
(0, 0), (루트pi, f(루트pi))
를 좌표 평면 위에 찍어야 하고.
보기 ㄴ에서 점 (a, f(a))를 주었으므로 이를 찍고,
정의역을
[0, a), a, (a, 루트pi]
와 같이 두 개의 구간과 한 개의 점으로
구분해야 합니다.
아래의 그림은 2025 이동훈 기출 미적분 해설의 그림.
이처럼 사이값 정리 + 평균값 정리 문제는
주어진 점 찍고,
정의역 분할하고,
각 점과 구간에서 성립하는 성질을
그림과 수식으로 표현한다.
가 기본입니다.
이에 대해서는
2025 이동훈 기출 수학2, 미적분에서
자세하게 설명해두었습니다.
아래는 2025 이동훈 기출 수학2
평균값 정리 실전 개념의 예제와 참고.
위와 같이
사이값 정리, 평균값 정리에 대한 실전 개념을
정리한 수험생이라면 ...
그렇지 않은 분들보다
몇 단계 위에 있을 수 밖에 없습니다.
2등급 하단의 분들은
평가원 기출 1회독 하고 나서
실전 개념 한 번 정독하면
안정적인 1등급에 오를 가능성이 높습니다.
f ' (a) 가 주어졌을 때,
점 (a, f ' (a)) 를 찍는 문제는
찾아보면 상당히 많습니다.
아래의 문제가 대표적일 것이고요.
이 문제에 대한 자세한 설명은 아래 글에서.
[이동훈t] 수능 난문 만드는 법 (+221130, 231122) 수학2, 미적분
.
.
.
이제 교육 과정의 서술 체계의 관점에서
좀 더 자세하게 살펴보겠습니다.
집합은 함수의 선행 단원이고,
함수는 미분법의 선행 단원입니다.
즉,
집합(정의역의 분할, 포함관계, 연산, 등등) A
-> 함수(그래프) B
-> 미분법(사이값 정리, 미분가능성, 등등) C
수능에 출제되는 미적분 난문의 경우
C 가 어렵다기 보다는
A 에 대한 이해가 부족해서
잘 풀리지 않는 경우가 대부분입니다.
A 에 대한 예를 들어보면 ...
P in Q(=정의역)일 때,
P에서는 성립하지만
Q에서는 성립하지 않는 성질을 묻거나.
(또는 둘 다 성립하거나,
P는 성립하지 않고, Q는 성립하거나.)
점 (a, f(a))가 주어졌을 때,
(-inf, a) 합 a 합 (a, inf) = 정의역으로 구분하고,
두 구간 (-inf, a), (a, inf)과 점 a에서
모두 성립하는 성질을 묻거나.
(또는 일부에서만 성립하거나.)
... 등이 있습니다.
B 도 쉽지는 않지만
대부분의 수험생들이
어느 정도는 암기하기 때문에
이 부분이 아주 어려워 질 수는 없습니다.
수능 미적분 난문의 경우
미분법 단원을 그 자체를
어렵게 출제하는 것에는 한계가 있으므로
미분법의 선행 단원인
집합, 함수에서
어렵게 할 수 밖에 없습니다.
22번으로 다시 돌아가면 ...
정의역 분할의 관점에서
푸른 상자를 해석하면 ...
우선
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
의 조건에서 두 점
(-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))
을 좌표평면에 표시할 생각을 해야 합니다.
이때,
붉은 상자의 조건을 결합해보면
최고차항의 계수가 양수인 함수 f(x)는
구간 (-1/4, 1/4)에서 감소합니다.
두 점 (-1/4, f(-1/4)), (1/4, f(1/4))을 찍고 나면
자연스럽게 y절편을 결정해야 하고
(왜냐하면 f(x)는 연속이니까요.)
( 좀 더 자세히 설명하면
(-inf, -1/4), -1/4, (-1/4, 1/4), 1/4, (1/4, inf)
로 구분하고 ...
구간 (-1/4, 1/4)를 다시
(-1/4, 0), 0, (0, 1/4)
로 구분한다.)
이때,
f(0) > 0, f(0) = 0, f(0) < 0
의 세 경우로 나누어야 합니다.
(고1 과정: 실수 a가 주어지면
a>0, a=0, a<0
의 세 경우로 구분하여 생각한다.)
보라 상자에서 주어진 조건에 의하여
(귀류법을 적용하면)
f(0) = 0
임을 알 수 있습니다.
y절편을 결정하였으므로
이제 x절편을 결정하면 됩니다.
도함수 보다 절편을 먼저 생각하는 이유는
교과서에서 다음과 같이 설명하고 있기 때문입니다.
< 교과서 본문 설명 >
다항함수의 그래프의 개형을 그리려면
좌표축과의 교점,
함수의 증가와 감소,
극댓값과 극솟값
등을 알아야 한다.
순서를 보시면 ...
절편이 증감극대극소에 우선함을 알 수 있습니다.
예를 들어 이차 곡선을 그리는 방법을 배울 때,
지나는 점을 여러 개 찍고 나서
부드러운 곡선으로 연결합니다.
(즉, 점 -> 곡선)
이처럼 수능 난문의 경우
점을 먼저 찍고 나서 곡선으로 연결하는 것이
풀이의 시작이 되는 경우가 상당히 많습니다.
이제 x 절편을 결정합니다.
f(0)=0 을 찾고 나서
x=+-1, +-2, +-3, ... 에서의
f(x)의 부호 또는 값을 결정합니다.
이때, 사이값 정리를 이용합니다.
x절편, y절편을 모두 결정하였다면
함수 f(x)의 방정식을 세우고
f ' (-1/4) = -1/4
f ' (1/4) 는 음수
를 만족시키는 경우를 찾는다.
함수 f(x)의 방정식을 결정한 후에
f(8)의 값을 구한다. (끝)
요컨대 ...
함수 f(x)의 그래프의 개형을 그리는 순서는
절편을 찾는다 -> 도함수 -> 그림(수식)
이므로
x절편, y절편을 먼저 찍을 생각을 하지 않았다면
교과서와 (평가원) 기출을
완전히 무시한 풀이가 됩니다.
예를 들어
(미분가능성에 대한 문제를 풀던 관성으로)
f(x)의 그래프와 x축의 위치 관계로
먼저 접근한 분들이라면 ...
한 참을 헤맸을 가능성이 높지요.
이 문제가 참 잘 만든 것이 ...
교과서의 서술 체계
(집합 -> 함수 -> 미분법)
에 대한 이해가 부족하면
헤맬 수 밖에 없습니다.
뭐 ... 많이 들 헤매더라고 ..
.
.
.
이제 이해의 마지막 단계까지 가볼까요 ?
이 문제를
이산과 연속의 관점에서 해석해 보겠습니다.
보라 상자를 다시 쓰면 ...
모든 정수 k에 대하여
f(k-1)f(k+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (참)
모든 정수 k를 모든 실수 x로 바꾸면 ...
모든 실수 x에 대하여
f(x-1)f(x+1) >= 0
인 최고차항이 1인 삼차함수 f(x)는 존재한다. (거짓)
즉, 보라 상자에서 주어진 성질은
실수 범위에서는 성립하지 않지만
정수 범위에서는 성립합니다.
다시 말하면
연속적인 상황에서는 성립하지 않지만
이산적인 상황에서는 성립합니다.
이에 대한 문제는 작년 9월 공통에서
출제된 적이 있습니다.
보기 ㄷ은
t가 자연수일 때에는 성립하지만
t가 양의 실수이면 성립하지 않습니다.
이처럼 ...
수능에 출제되는 난문의 경우
이산과 연속에서 모두 성립하거나,
이산과 연속 중에서 한 쪽만 성립하는 경우를
종종 출제하고 있습니다.
이산과 연속은
고교 수학의 최종 목표 중의 하나이고,
거의 매해 출제되는 중요 개념 입니다.
뭐 ...
출제자들도
수학적으로 의미 없는 문제를
출제하고 싶지 않을 것이고 ...
이산과 연속에 관련된 명제를
찾기 위해서 혈안이 되었다고 봐야지 ...
배운 사람들은
배운 티를 내거든.
그게 출제자들의 약점이야.
.
.
.
정말 마지막으로 ...
22번은
어떻게 만들었을까 ?
다음의 두 가지 정도가 아닐까 싶은데요.
(1) 특수한 경우 -> 일반적인 경우로 확장
위의 교육청 기출 (나)에서
주어진 부등식은
몇 개의 정수 k에 대하여 성립하는데요.
이를 모든 정수 k에 대하여 로 바꾸었다.
고 생각해 볼 수 있습니다.
즉, 방정식 -> 항등식
으로 바꾸어서 문제를 만든 것이고.
이때, 필연적으로
사차함수에서 삼차함수로 바꾼 것이겠죠.
(2) 이산적인 상황에 삼차함수를 씌웠다 ?
수열 -> 삼차 함수로 즉, 이산 -> 연속으로
바꾸어서 문제를 만들었다.
뭐 .. 이런 가능성도 있어 보입니다.
.
.
.
안정적인 만점을 원하나요 ?
225 이동훈 기출 에서 제시하는
실전 개념과 함께하세요.
ㅎㅍ ~
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
고1 평가원 기출문제집
[이동훈t] 2025 이동훈 기출 고1 수학 PDF 무료 배포
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
강대 질문 0
과탐수업 강사 바꾸고 싶은데 말하면 바꿀 수 있음?
-
살아있네 ㅋㅋ 이쯤 되면 강사 본인이 원할 경우 내년에 현강 복귀도 가능하지 않을까 싶음
-
진짜 충격이다 0
얼굴한번 본적없지만 너무 슬프네요
-
아이디어랑 커넥션 각각 몇주 걸리셨나요? 기생집 3점말고 4점만하고 아이디어 한다음...
-
평균적으로 공부못하는 애가 예쁨? 잘하는 애가 예쁨? 후자는 자기관리하자녀
-
메디컬 희망 XX 어문계열(인문계열)희망OO ㅈㄱㄴ
-
기계과, 전자과 희망하는 경기도 일반고 학생입니다 공동교육과정 물리학실험을 할지...
-
훌리<— 이새끼들 좆병신같음 ㅋㅋ 대학생활 좀만 정상적으로 해도 오르비 꾸준히 할...
-
기말 D-5 2
화이팅 해보자구
-
어떻게 하시나요..ㅜㅜㅜㅜㅜ하 믿었던 과목에서 뒷통수 후려맞으니까 정신이...
-
킥오프 워크북은 좀 어렵던데 워크북은 아이디어랑 병행해도 될까요? 아이디어...
-
유대종쌤이 감 유지용이 아닌 어렵다고 고1고2 기출 푸는건 도피라고...
-
캐르릉 11
쿠르릉 가르릉 으르릉 배홍동 3개 먹고 자야겟다흐흐 아침 미리 먹어버리기
-
안타깝습니다 고인의 명복을 빕니다 일어나니 점심때님ㅠ
-
그날 인류는 떠올렸다. 공포(恐怖), 그리고 굴욕(屈辱)을... 0
야레야레...와타시 괴물이 되어버린것이야..? 쇼가나이나...정답률 약4% 문제들을...
-
공통 11번까지, 미적은 27번까지 1도 막힘없이 푸는데 그 뒤론 안풀려......
-
분명 올해초까지는 보증거절까지는 안당했었는데 계속 거절 나온다.. 어떻게 바꿔야 할지 모르겠네
-
분명 재난(?)문자는 받았는데...
-
할복. 3
배고파서 사망
-
마시면은 오히려 더 졸리던데 나만그런가..
-
좀 충격적이네요…. 사는 거는 뭐고 삶의 의미는 뭘까요
-
산은 좀 넘은거같기도 근데 이번 수특은 좀 쉽다는듯
-
강의에서 현대소설 1세트 2등급 기준으로 5~6분 잡아주시는데 6분 안에 지문 다...
-
다들뭐하시나요 25
전 잠이 안와서 물2하는중
-
박광일 복귀함? 0
으으으음ㅁ…
-
하암 ... 친구가 학교에서 같이 인사이드아웃 보러가자해서 좋다고 했는데 우선...
-
김상훈 0
문학론 부록에서 고전소설 인물 파악 강의 따로 없나여..?
-
시발점 수1, 수2, 기하 본교재랑 워크북에 있는 문제들 막힘없이 풀면 몇등급정도 나오나요?
-
원래 정답률과 별개로 약간 비문학 풀듯? 푸는게 있었는데 확실히 찐 고수들 말처럼...
-
슬슬 찾아봐야 할거같은데 너무 어려운건 아직 좀 그렇고 적당한 난이도 + 분량으로...
-
개좋음..걍 요새 사나이 감성 노래가 좋음ㅋㅋㅋ
-
44434 6
6모성적인데 여기서 사탐으로 바꾼다음 올1컷하면 기적인가요?
-
작년 말부터 좋아하게 된 친구가 있었습니다. 이 친구가 키도 큰 편이고, 성격도...
-
자 방갑습니다 8
다들 잘 지내고 계신가요
-
둘이 만나면…?
-
물리는 XX다 14
난 XX를 하고있다
-
6모 미적 4등급이라 확통런이 맞는거 같아서 오늘 확통개념강의 첨 들어봤는데 너무...
-
하늘도 우릴 축복하잖아~~
-
수학은 문제 푸는 방법 이런거 봐도 감을 못잡겠네.. 수학도 일관된 뭔가가 있나?
-
새르비는 화력이 옛날보다 약해진건가요
-
한 2시 3시까지 공부하고 5시쯤 자서 11시에 일어나는 뭐 이런분들…
-
나도 최면 걸릴래
-
육사 신청했는데 오늘 담임쌤이 불러서 개꼽주심 복도에서;; 자기한테 신청하는거 얘기...
-
동테 프사랑 너무 찰떡이라 놀랐어 사실 테인줄도 모르고있었어 프사 색 맞춤으로...
-
1트만에 풀었으면 ㄹㅇ 고능아 아닌가.......
-
확통이 필수였음.. 물론 기벡 좋아하는 나로서는 기벡있던 그 시절을 경험해보고는...
-
옥상 닫혀있어서 6
깜짝놀랐네 올라올사람 나밖에 없는데 개무서웠음 ㅠ
-
난 뒤돌아서서 세상을 바라볼게
선7ㅐ추 후감상
기출분석이 여러모로 중요한거 같아요...
수학도 국어처럼 기출로 리턴해봐야겠네요..
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/factbot/08.png)
국어 못지 않게 수학도 기출 분석이 중요합니다. 특히 안정적인 만점을 원하는 분들이라면 더더욱 그렇겠지요.올해 좋은 결과 얻으시길 기원합니다 ! :)
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/009.gif)
넵 감사합니다