-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
그저 옯붕이들처럼 기만이하고싶었던게아닐까...
-
정신차렸다 0
어제부터 10시간 중 국어 3시간 수학5시간 나머지 영어 생윤 동사 수학...
-
내가 병원 한의원을 가면 오르비에서 키베 뜨던 분이 앉아있을 슈 있단거잖아
-
옯밍아웃 기념 무물 받아요! 신상 제외 다 답변 드립니다
-
국어 현강도 다녀서 문학이 독서보다 약한거같아서 둘중에 하나만 하려고하는데 뭘 더...
-
님들은 수학 문제 풀 때 문제집에 푸나여 공책에 푸나여
-
???: 난 수학 4점짜리 풀어서 맞춘거보다 찍맞이 더 많아 2
나도 생윤은 윤사 풀던 감으로 풀었어! ㅇㅈㄹ했는데
-
의사 페이가 한의사보다 어쩌니 의사 망했다느니 무당이니 지들끼리 처 싸우다가...
-
세상 살기 싫다 3
하...
-
현재 국일만 문학 독서 하고있고 언매할거라 개념은 언매 강기분 듣고있습니다. 언매는...
-
5등급에서 3등급 올리기 수학vs국어 뭐가 더 쉬울까요 3
6모 기준으로 수학은 미적선택 39점입니다 공통은 11번 정도까지 하나틀리고 다 풀...
-
이상의 건축무한육면각체에 이어서 현대시로 돌아왔습니다 오늘도 어제 고전 시가 문제...
-
하나 하고 가야할거같은데 어떤게 좋을까여 이번6모 찍맞포함해서 낮3 나왓어요
-
내가가고싶으면 ㄱㅐ추ㅋㅋ
-
직접 해보면 이해 잘된다함
-
유기할거 투표좀!!
-
연예인 대단
-
이재 개념강의 듣고있는데 1단원 기체만 넘기면 뒤로 갈수록 할만해지는거 맞나요 아니...
-
현역 재수 모두 수학은 공부하지 않았습니다. (희망하던 학과가 수학 미반영)...
-
좀 자기 줏대를 가지고 살지 이게 뭔 주식투자인줄 아나 의대가 유망하대! 우르르....
-
A가 갑국, 을국 둘 다 상승 이동한 자녀 수가 0명인데 왜 하층인가요? 상층이어야 하지 않나요??
-
이걸 어떻게 계산하면 83.4가 나올까요? 보통 국 수 탐12평균 세가지 평균 아닌가요?
-
그래그래 너네는 야구를 이겨라 난 수능을 이길게..
-
"Great reset" "탈석유" "세계단일정부수립"
-
평가모원모의고사제외하고 대성모의고사, 메가모의고사같은 시험들을 현장에서...
-
저희 학교 중간때 통과 만점자가 2등급인원을 넘어갔고 수행도 개쉽게 나오고 이번에...
-
안정2 비문학 다 맞추고도 문학에서 나가는편인데 브크 안듣고 바로 익히마 계간지 들어가도 되나요
-
국회서 "미친 여자 발언 기억하나" 묻자 의협회장 "표현의 자유" 1
임현택 회장 "미친 여자", "십상시" 막말 전력 국회서 도마에 올라 강선우...
-
그 메타에 따라 잘나가는 직업을 하고 싶은거야 누구야 당연한 사실이지만 05년생...
-
국숭 안되나요??
-
N티켓 2
이번주에 끝내야지
-
“불법사채 갚지말라” 대법 판결에 사채시장 쪼그라든 日[히어로콘텐츠/트랩]④-下 0
“일본에선 불법사채 조직이 정식 대부업체로 위장하는 일은 발생할 수가 없습니다.”...
-
제 주인님이에요 7
-
N제 추천 0
공통 8 10 15 20 22틀림
-
.
-
추천 부탁드립니다 현재 8개년 기출보는데 옛기출도 보고 싶어서요
-
2023 9월 18번 풀었는데 안풀려서 ㅅㅂ 첨부터 계속 다시하다가 해설보니까 ㅈㄴ...
-
* 부정의한 자는 고통으로 가득하다 * 자연의 정의는 상호이득의 협정이다. *...
-
진심으로
-
2년전에 내가 고2때만 해도 유머글이랑 칼럼 보는 맛에 눈팅했었는데 이제는 뭐...
-
수능 공부에 도움이 되셨으면 합니다 약점보완테스트 16회 입니다~ 어떠한 피드백도...
-
양도나 공유 구합니다 연락주세요
-
"국밥" 6월의 EBS 연계 웹툰 미리보기 업로드!!! 0
드디어 오늘 앱 “국밥”의 월간지에 실린 , , 웹툰의 미리보기를...
-
곰팡이핀줄 녹슨건가 동전도 녹이스네 ;;
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요