다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오랜만이군아 1
야호~
-
요즘 학원 자습실에서 국어 빨더텅 돌리는데데 이감& 더프랑 비슷한 등급대 나옴.....
-
마님,,
-
나머지는 어느정도 만족할만한 점수로 수렴되고 있는데 국어는 시험볼때마다 찢어버리고 싶네
-
다 빨래통에 처넣어서 잘때 입을 옷이 없는데 어카냐 알몸으로 자는건 상관없는데 지네라도 나오면 어캄
-
추석모기 2
-
ㅇㅇ
-
오르비에 검색했을 때 전문이 안 나와서… 저도 볼 겸 올려요 메가스터디 qna...
-
현역 공군 질문받아요 33
제곧내
-
교재 외에 강의에서 따로 추가로하시는말씀이 많으신가요? 아니면 교재만봐도...
-
지금 현생 유기한 상태인데..그래도 던지면 안되겠지..
-
흠
-
오늘 남은 시간동안까지만 쉰다 vs 물리해라
-
각 고등학교에?
-
말걸려다가 소심한마음이 발동되어서 말못걸었는데 아쉽네요..
-
오늘저녁 11
김치볶음밥
-
07질문받아요 2
심심... 학군지 사는데 고등학교 수시딴다고 먼곳(같은 구 다른 동네)갔다가...
-
제목은 어그로고 아무말이나 해줘요.
-
수2개념 4강 생명 1, 2단원 4강 생명 1 2단원 애초에 좆밥이고 해본적 있어서...
-
하는 사람을 현실에서 찾을려면 더 적극적으로 나서야 하는데 마이너 취미 일수록...
-
그리운 사람 멋있는 사람 보고픈 사람
-
픽업개꿀tv 0
11시반이야tv 이런 tv 있으면 철퇴맞나요?
-
인뭄논술 질문 1
혹시 인문논술로 대학 합격하신 분들 중에 시간 안에 들어오는 팁이나 방법이...
-
기차에 타서 이런저런 생각하는중
-
[취재후 Talk] 여야의정 협의체, 야당이 먼저 꺼냈다 4
추석 연휴 기간 여야의정 협의체가 가동되지 않아 정부 여당이 골머리를 앓고 있다....
-
동기부여 0
나도 꽤 9평 잘봤다고 생각하는데 동기들도 되게 잘봤네... 저번주에 9평 만점받은...
-
오늘 준다매
-
이…이게뭐노… 11
어이가없는
-
2학년 올라오고나서부터는 국어에서 1 놓쳐본적없는데 그것도 백분위 100 99가...
-
빨간약 먹은 이후로는… 걍 만화나 애니 위주로 봄 처음에는 씹덕 캐릭터와 상호작용이...
-
갑자기 그 분이 보고 싶습니다
-
요즘 패션씹덕인데 괜찮겠죠?
-
JLPT에 더해서 컴퓨터활용능력을 준비해 볼 거에요 왜 시간이 남는지는 묻지 마시고
-
중간고사 기간이구나...우리 학교가 늦게 치는거였네
-
오모이데니 데키나이
-
그냥 하나의 취미일 뿐인데..
-
생활관에서 할만한거 추천해주세요
-
파인애플피자 시켰다 22
맛없다고 주장하면 사형 선고함니다
-
이 반 왜 다 여자고딩들이지 갑자기 방 불 끄고 꺄르르 거리는거 좀 당황스럽긴한데...
-
화학 슬럼프? 2
본인 방금 트라이얼2회 풀고옴.결론적으로 47점인데 사실 현재까지 막혀서 틀린적은...
-
학원에서 성적표 문자로 보내줬는데 성적 수치심 느꼈네요; 통매음 신고 가능한가요?
-
인문논술 0
정시러인데욤 인문논술 수능 끝나고 준비하려고 하거든요 세종 11월 23일 광운...
-
제발
-
과탐은 빨리 안 오르는구나 이래가지고 허락 받겠냐
-
뇌진탕 경험 있으신분? 14
엊그제 머리 부딪히고나서 계속 멍하고 집중안되고 졸리도 하품도 심하게 나오는데 이거...
-
수특 독서 초서 ~합리적 선택 ebs 파이널집 추일서정 ~질투는 나의 힘 수특 한문...
-
미술관이나 박물관을 좀 자주 가고 싶군뇨 새로운 걸 배우고 접하는것 (수2 아님...
-
아아 이제 9%라니 19
시간이 너무 안 가는구나…
-
왜이러짐
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다