[박수칠] 놓치기 쉬운 개념/유형 3가지
수학 공부를 하다 보면 다양한 개념과 유형을
자신의 수준에 맞춰 이해하고, 나름의 방법으로 정리하게 됩니다.
하지만 수업이나 교재에서 설명하는 내용을
그대로 받아들이는 것이 상당히 어렵기 때문에
제대로 이해하지 못하거나 잘못 이해하는 경우도 생기죠.
그래서 학생들이 놓치기 쉬운 개념/유형 가운데
세 가지만 골라서 정리해봤습니다.
(사실 더 정리하고 싶은데 기억이 안나요 ㅡㅡ;)
(1) f(x+k) = f(x)의 의미
다음 명제는 참일까요? 거짓일까요?
참이라 생각하기 쉽지만 거짓입니다.
주기가 2가 아닐 수도 있거든요.
이유를 알아보기 위해
함수 f(x)의 주기가 1이라고 가정해봅시다.
그럼 임의의 실수 x에 대하여
f(x+1) = f(x)가 항상 성립합니다.
여기서 x 대신
x+1을 대입하면 f(x+2) = f(x+1)이 성립,
x+2를 대입하면 f(x+3) = f(x+2)가 성립,
x+3을 대입하면 f(x+4) = f(x+3)이 성립,
…
하게 되고, 이 과정을 반복하면 임의의 실수 x에 대하여
f(x) = f(x+1) = f(x+2) = f(x+3) = f(x+4) = …
가 성립함을 알 수 있습니다.
여기에 f(x) = f(x+2)가 포함되어 있죠?
따라서 주기가 1인 주기함수도
f(x+2) = f(x)를 만족시킴을 알 수 있습니다.
위 내용을 일반화시키기 위해
이번에는 함수 f(x)의 주기가 p라고 가정해봅시다.
그렇다면 임의의 실수 x에 대하여
f(x+p) = f(x)가 항상 성립하겠죠.
여기서 x 대신
x+p를 대입하면 f(x+2p) = f(x+p)가 성립,
x+2p를 대입하면 f(x+3p) = f(x+2p)가 성립,
x+3p를 대입하면 f(x+4p) = f(x+3p)가 성립,
…
하게 되고, x 대신
x-p를 대입하면 f(x) = f(x-p)가 성립,
x-2p를 대입하면 f(x-p) = f(x-2p)가 성립,
x-3p를 대입하면 f(x-2p) = f(x-3p)가 성립,
…
하게 됩니다. 그리고 이 과정을 반복하면 임의의 실수 x에 대하여
…=f(x-3p) = f(x-2p) = f(x-p) = f(x) = f(x+p) = f(x+2p) = f(x+3p) = f(x+4p) = …
가 성립함을 알 수 있죠.
따라서 다음과 같은 정리를 만들 수 있습니다..
처음의 명제와 같이 임의의 실수 x에 대하여
f(x+2) = f(x)가 항상 성립하도록 하는 함수 f(x)가 있다면
np=2가 되기 때문에 함수 f(x)의 주기는 p = 2/n입니다.
(p>0이므로 n은 자연수)
따라서 f(x+2) = f(x)를 만족시키는 함수 f(x)는
주기의 배수 가운데 2가 있는 함수겠네요.
그런데 지금까지 문제를 풀면서
위 명제의 참, 거짓을 몰라도 아무 지장이 없었습니다.
왜냐?
대부분의 문제에
임의의 실수 x에 대하여 f(x+k)=f(x)가 항상 성립한다는 조건과 함께
길이가 k인 구간에서 함수 f(x)의 그래프에 대한 조건이 있었거든요.
다음 문제처럼 말입니다. (2015학년도 수능 A형)
임의의 실수 x에 대하여 f(x+3)=f(x)가 성립하는 상태에서
구간 [0, 3)에서의 그래프에 반복되는 도형이 없으니
이 경우에는 함수 f(x)가 주기 3인 주기함수라고
자신있게 얘기할 수 있습니다.
따라서
‘임의의 실수 x에 대하여 f(x+k)=f(x)가 항상 성립한다’는 조건이
단독으로 나타나면 함수 f(x)의 주기는 k가 아닐 수도 있습니다.
하지만 이 조건과 함께
길이가 k인 구간에서의 그래프에 반복되는 도형이 없으면
함수 f(x)의 주기가 k라고 얘기해도 되는 겁니다.
(2) 함수의 극한과 미분계수의 관계
이 내용은 지난 칼럼 ( http://orbi.kr/0007810298 )에서 한 번 다뤘습니다.
그런데 학생들 질문을 받다 보니
제가 다뤘던 문제에서 가정, 결론의 위치가 바뀐 문제가 있더라구요.
해설에는 반례만 있고, 반례에 도달하기까지의 설명이 없어서
추가로 다뤄봅니다.
다음은 수학의 바이블 미적분1 p.207에 있는 문제입니다.
여기서 ㄴ만 따져보자구요.
이 문제를 처음 푼다면 대개 다음과 같이 변형할 겁니다.
그리고 ㄴ이 참이라고 하겠죠.
하지만 과정이 틀렸습니다.
왜냐?
함수 f(x)의 x=0에서의 미분가능성에 대한 조건,
즉 f’(0)의 존재에 대한 조건이 없거든요.
이 상태에서 극한이 f’(0)으로 수렴한다고 해서 틀린 겁니다.
그렇다면 어떻게 접근해야 하는가?
위 풀이 과정에 포함된 다음의 식을 살펴봅시다.
h→0-일 때는 -h→0+이므로
①은 x=0에서의 좌미분계수, ②는 x=0에서의 우미분계수를 의미합니다.
마찬가지로 h→0+일 때는 -h→0-이므로
①은 x=0에서의 우미분계수, ②는 x=0에서의 좌미분계수를 의미합니다.
아하~
ㄴ의 가정에 주어진 극한은
함수 f(x)의 x=0에서의 좌미분계수와 우미분계수의 합이 0이라는 뜻이네요.
그럼 반례가 확 떠오르지 않나요?
x=0에서 좌미분계수 -1, 우미분계수가 1인 함수…
바로 f(x) = | x |입니다.
따라서 ㄴ은 거짓이 되죠.
(3) 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성
다음은 2009학년도 수능 9월 모평 가형 10번 문제입니다.
여기서 ㄴ의 참, 거짓만 판단해봅시다.
여러분이라면 어떻게 접근하시겠습니까?
교과서적인 해법에 충실한 학생이라면
ㄱ을 풀기 위해 g(x)를 x<1일 때와 x≥1일 때로 나눠서 정리했을 것이고,
그것을 이용해서 x=1에서의 미분가능성을 판단할 겁니다.
그런데 미적분의 기본정리를 이용하면 계산 없이 상당히 쉽게 풀립니다.
함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속이면
함수 S(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하다고 되어 있죠?
그렇다면 ㄴ의 참, 거짓 판단에 필요한 것은
g(x)의 정의에서 정적분의 피적분함수 y=(x-1)f(x)의 연속성입니다.
먼저 함수 y=x-1은 실수 전체의 집합에서 연속,
함수 y=f(x)는 구간 (-∞, 1), (1, ∞)에서 연속입니다.
따라서 함수 y=(x-1)f(x)는 구간 (-∞, 1), (1, ∞)에서 연속이죠.
그리고 함수 y=x-1은 x=1에서 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 0,
함수 y=f(x)는 x=1에서 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 존재합니다.
따라서 함수 y=(x-1)f(x)는 x=1에서 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 0이므로
연속이고, 실수 전체의 집합에서 연속이 됩니다.
그렇다면 함수 g(x)는 연속함수의 정적분이기 때문에
미적분의 기본정리에 따라 구간 x>-1일 때 미분가능함을 알 수 있습니다.
그래서 ㄴ은 참이죠.
ㄱ 또한 구간을 구간을 나눠서 정리할 필요 없이
g(x)를 미분하면 g’(x)=(x-1)f(x)가 되고,
x≥1일 때 g’(x)=(x-1)(-x+2)=-(x-1)(x-2)이므로
구간 (1, 2)에서 g’(x)>0, 함수 g(x)가 증가함을 알 수 있죠.
추가로 g(x)를 다음과 같이 두면
함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다는 사실도 알 수 있습니다.
함수 (x-1)f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이기 때문에
첫 번째 정적분은 미분가능한 함수, 두 번째 정적분은 상수가 되거든요.
——————————————————————————————
이번 주는 계속 미적분2 - 미분법 단원 부교재 작업을 하고 있는데
상당히 오래 걸리네요 ㅜㅜ
문제는 39개 밖에 추가 안했는데 해설 작업 때문에…
얼른 마무리하고 올릴테니 좀만 기다려주세요 ^^
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일단 좋아요 누르고 다시 위로 올립니다
와~ 올리자마자 댓글이!
감사합니다 ^^
다읽었네요ㅎㅎ
놓치기 쉬운 부분 정리해주셔서 감사드리고요
그리고 중간에
여기서 ㄴ만 따져보자구요.
이 문제를 처음 푼다면 대개 다음과 같이 변형할 겁니다.
그리고 ㄴ이 참이라고 하겠죠.
하지만 과정이 틀렸습니다.
여기 중간에 식이 하나 빠진 것 같네요ㅜㅜ
수정했구요, 예리한 지적 감사합니다 ^^
옛날엔 저런게 10번이군요 ㅋㅋㅋ
좋은 칼럼 잘 읽었어요 ㅎㅎ
저 정도 난이도의 수능은 다시 보기 힘들 것 같습니다.
읽어주셔서 감사드려요~ ^^
정말 중요한부분 잘집어주시네여 ㅋㅋ
노화에 따른 기억력 감퇴만 아니면
더 잘 집어낼 수 있는데 말이죠 ㅋㅋㅋ
난 이제 수학을 할 수 없어..
과목은 다르지만 모의고사까지 만든 분이 왜 이러십니까.... ^^;
잘봤습니다 ^^
(1)의 경우
교과서에 정의된 그대로 "f(x)=f(x+p)를 만족시키는 '최소의 양수 p' 를 주기라 한다." 라고만 알고있으면 간단히 정리할 수 있을거같아요.
주기의 개념을 처음 배우는게 삼각함수라, 앞으로 문과에는 f(x+2)=f(x) 등 과 같은 조건이 나오지 않을 것 같은데, 선생님께서는 어떻게 보시나요?
문과에서 삼각함수가 없어지는 바람에
박수칠 수학 미적분1에 주기함수 넣을까 말까 엄청 고민하다가...
다양한 함수방정식(우함수, 기함수, 대칭 관련 등등등)을 이해할 수 있도록
하자는 차원에서 결국 넣었습니다.
저도 안나올 것 같긴 해요 ^^
엇 그렇군요 ㅎㅎ
감사합니다
정말 도움되는내용 올려주셨네요 ㅎㅎ 수험생일땐 저런것 생각안하고 푼것같은데 ㅠㅠ
수능을 준비하다 보면
기출 문제 풀이에 최적화된 방법들 위주로 공부하다 보니
개념에서 세세한 부분들을 챙기기 어려운 점이 있죠.
읽어주셔서 감사합니다 ^^
바이블 예시로 든 문제는 ㄱ보기는 참인가요 거짓인가요?! 그리고 박수칠님 문제집발간계획이 어떻게 되어있으신가요!이과생이에요!
미적2는 나왔네요 구매했어요 !! 항상 좋은글 감사합니당^^~
ㄱ은 참입니다.
극한이 수렴하고 (분모)→0이기 때문에
(분자)→0임을 알 수 있고,
함수 f(x)가 연속함수이기 때문에
h→0일 때 분자의 극한이 f(1+h)→f(1)이므로
f(1)=0이 됩니다.
이것을 이용해서 주어진 극한을
미분계수의 정의에 맞게 변형하면 f '(1)=0이 나와요.
교재 구입 감사합니다 ^^
박수칠 수학 본교재는
문제 수가 적은 편이고 계산 공간이 없기 때문에
PDF 포맷의 부교재를 별도로 제공하고 있습니다.
본교재의 모든 문제와 함께
수능/모평 기출 중심의 연습문제가 단원별로 15문제 정도씩
수록되어 있고, 별도의 계산 공간도 준비되어 있습니다.
물론 연습문제 해설도 포함되어 있고,
아래 링크에서 다운받을 수 있습니다.
http://orbi.kr/0005897498
현재 미적분2는
지수함수와 로그함수, 삼각함수가 업로드된 상태고
며칠 내로 미분법 단원이 업로드될 예정입니다.
1번부터 크리티컬 데미지..(ㅜㅜ)
어렵지만 꼼꼼하게 따져가며읽어보니 이해가 가네요 좋은칼럼은추천추천
추천 감사드려요~ ^^
아무래도 문제 풀 때 걸림돌이 되지 않다 보니
잘 모르는 학생들이 많은 개념이죠.
그런데 수능에서 2번과같이애매하게보일수있는 문제가 나오나요?
딴지걸려는의도는아니고 수능은 문제스타일이 깔끔하니..
6, 9월 모평에 수록된 합답형 문제에서는
개념을 디테일 있게 콕콕 찌르는 경우가 많았는데
막상 수능에서는 디테일을 빼고 단순화하거나
아예 빼는 경우가 대부분이었죠~
그래도 챙겨둘 필요는 있다고 봅니다.
감사합니다 문제풀때 이런부분까지 생각하면서 풀어야겠네요
저거 빡티가 강조해서알랴주던데 하도많이봐서 각인됨
최근 올린 글들이 인강 대세 빡쌤이나
신승범쌤 설명과 비슷하다고들 하더라구요.
방향을 잘 잡은 것 같아서 앞으로도 계속 이렇게 달리려구요~ ^^
f(x+p)=f(x) 이라면 주기는 p/n (n은 1이상 자연수) 맞나요? 깐석원쌤이 항상 강조하시더라구요.. 그리고 2번도 ㅈㅅㅁ쌤이 하도 맨날 저거 확인 좀 하라해서 확실히 알겠는데 3번은 좀 새롭게 느껴지네요ㅋㅋ 교과서좀 제대로 읽을걸..
첫 번째 얘기 맞아요~
주기의 배수 중에 p가 있다는 뜻입니다.
인강을 안듣다 보니
인강쌤들이 (3)에 대해 어떻게 얘기하시는지는 잘 모르고,
검색으로 찾을 수 있는 수능/모평 해설에서는 저 얘길 잘 안하더라구요.
그런데 정적분으로 정의된 함수가
처음 등장하는 것이 미적분의 기본 정리 증명이기 때문에
문제 풀이를 위한 개념 학습 또한 미적분의 기본 정리에서부터
시작해야 한다고 봅니다.
우와 대박이네요..ㄷㄷㄷ 잘 정리하고 갑니다!!
옙! 읽어주셔서 감사합니다 ^^
저도 읽어주셔서 감사드립니다~ ^^
잘보고갑니다!! 근데 첫번째 이야기, 앞으로 주기문지 풀 때 계속 신경쓰일듯 ㅠㅠ 여태 저걸로 꼬운적은 없어서 그냥 주기로보고 가도 다 풀렸는데 ,,
지금까지 그랬죠.
앞으로도 수능에선 볼 일이 없을 것 같구요...
그래도 삼각함수가 수능 직접 출제 범위로 옮겨졌으니
어쩌면 모평에서 볼 수 있을지도 모르겠습니다.
좋은 글 감사합니다 믿고보는박수칠!
그런데 저 바이블문제 ㄷ보기가 참인지 거짓인지 확신이 안서네요 ㅠ 풀이좀 부탁드려요!
참입니다.
f(x) = | x-1 |을 극한에 직접 적용하면
분자가 f(1+h) - f(1-h) = | h | - | h | =0
이 되면서 극한도 0이 되거든요~
그렇군요!! 쉽게 설명해주셔서 감사합니다ㅎ
최고
감사합니다!
다 좋은데 살짝 아쉬운 점이 있네요
미적분의 기본정리1에 대한 설명에서 미분가능한 구간은 열린구간 (a, b)라고 했습니다만, '단, a<=x<=b' 조건에는 등호가 들어가있군요. 등호를 빼는게 좀 더 완벽하지 않을까 싶습니다.
매번 잘보고 있어요~ 오늘도 즐감하고 갑니다
그러게요... 저도 하나 놓쳤네요 ㅋㅋㅋ
수정했구요, 좋은 지적 감사합니다!
자료 잘보고 있습니다. 박수칠님의 수학적 깊이에 항상 감탄하고 갑니다
와 박수칠님!! 완전 수학을 뒤집어놓으셨다!! 호우!!
지도리님 재밌으심 ㅋㅋㅋ
뒤집는 건 바라지도 않고, 대세 쌤들 뒤나
잘 쫓아갈 수 있으면 좋겠어요~
아유~ 수학적 깊이라니요...
기계공학 전공이라 수학과 앞에선 명함도 못내밀어요 ^^;
그냥 calculus를 베이스로 하고,
경력이 조금 쌓이다 보니 생각의 폭이 넓어져서 그런 것 같습니다.
한수 배우고 갑니다!
감사합니다!
주기는꼭정수가아니여도되나요?
네 최소의 양수라고 정의합니다
추가적으로여쭈고싶습니다. 주기의배수할때 그배수는 실수배가아닌정수배만가능한건가요?
그리고 수학관련과를가면 교수님들이그런자세한정의도알려주시나요?
본문에 설명되어 있듯이
f(x+k)=f(x)가 성립할 때 k는 주기의 정수배입니다.
그리고 해당 개념을 중요하게 여기는 교수님이라면
수업시간에 따로 설명할 수도 있겠지만, 이런 세세한 개념은
본인의 필요에 따라 스스로 찾아서 공부해야 하는 경우가 많습니다.
저 위에 제헌이님 댓글처럼
f(x+k)=f(x)를 만족시키는 k 가운데
최소의 양수를 주기로 정의합니다.
sin x , cos x 주기가 2파이인 것처럼
실수 범위에서 얼마든지 가능합니다.
미적분의 정리 1 저거 문과 범위인가요...?
문과 재수생인데 작년에 본 적이 없는 것 같아서요...
문이과 공통 범위예요~
원래 명칭이 '정적분의 기본 정리'였는데
개정되면서 '미적분의 기본 정리'로 바뀌었습니다.
갓.
항상 잘보고 있습니다~
항상 찾아주셔서 감사합니다 ^^d
1부터5까지 정수만더한시그마값은15가되고 인테그랄 1부터5까지모든실수를다더한값은 12가되는데 어떤분이단위가달ㅈ라서대소비교가불가능하다고그러셨는데사실인가요 그리고1부터5까지모든실수를더했는데 어째서 무한대로발산하지않고 12에수렴할수있나요? 저구분구적법제대로알고있고 선분을다더해서넓이가실수가된다는데 좀 구체적으로이거다할답변이없네요답변부탁드립니다.
시그마로 표현된 합과
인티그럴로 표현된 합을 비교하려면
합의 대상부터 대등한 관계가 되어야죠.
인티그럴이 연속적으로 변하는 면적 f(x)dx의 합이니
시그마도 불연속적으로 변하는 면적 f(xk)Δx의 합이 되어야
비교 가능합니다.
정수의 합을 시그마로 표현할 수 있다고 해서
실수의 합이 인티그럴로 표현되는 것이 아닙니다.
뭔소리에요?
그니까나머지는알겠는데막줄이이해가안가네요인테그랄1부터5까지xdx는 1부터5까지 모든x에대응되는y값을더한것으로알고있는데 실수의합이인테그랄로표현이안된다고하시니까배운거랑 부딪히네요
단순히 1부터 5까지의 실수를 더한 것이 아닙니다.
급수 lim Σ f(xk)Δx와 정적분 ∫ f(x)dx를 비교해보세요.
dx는 Δx와 연결되는 '양'입니다.
f(x)가세로의길이dx가가로의길이니까 선분에가까운직사각형들을1부터5까지더해주신다는말씀이신가요?
빙고!
저수학교육과나 수학과가고싶은데 모르는거이쓰면 교수님한테 고딩때처럼모르는거가서물어보면별로안좋아하시나요?귀찮게생각하시려나... 수칠님은무슨과에요?
기계공학 전공입니다.
그리고 교수님께 직접 질문할 기회는 거의 없구요,
대신 조교들 찾아가서 괴롭히면 됩니다.
미적분편 나왔나요?
확통은 필요 없을듯한데
현재 미적분1, 2만 나와있습니다.
박수칠 수학 관련 자료는 아래 링크를 참고해주세요~
책 소개 http://orbi.kr/0007649774
책 주문 http://atom.ac/books/1504
PDF 부교재 http://orbi.kr/0005897498