[박재우] 안녕하세요 ^^
오르비 회원 여러분 오랜만입니다.
오르비 클래스 수학강사 박재웁니다.
더위가 가고 기분이 좋아질 것 같은데 곧 9월이네요.
수험생들은 시험이 현실로 느껴지기 시작하는 달입니다.
머 9평이 있어서가 아니구요. 그건 그냥 실전 연습이라고 생각하세요.
원서를 쓰게 되는 달이죠.
이게 말입니다. 원서를 쓰게 되면 기분이 묘해지고 바빠지게 됩니다.
이 것이 모든 컨디션이나 일정이 잘 관리되다가 흔들리게 되는 시발점이 되기도 합니다.
언제나 꾸준히 변함없이 앞만보고 가시기 바랍니다.
하고자 하는 사람은 못 할게 없다는 거 잘 아시죠 ?
저도 개인적으로 먼가를 이루기 위해 많은 준비를 하고 있습니다.
에너지도 많이 되찾고
꽤나 희망적입니다. 저 개인적으로는요 ㅎㅎ
오늘은 미루어 놓았던 칼럼을 하나 쓸려고 합니다.
공부하다가 지친 머리를 식혀 보시기 바랍니다.
물론 더 뜨거워지는 분들도 있겠지만요. ㅋ
저번 칼럼 처럼 이미지도 부가해서 쓰겠습니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ? ㅋㅋ
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
요즘은 정사영 이면각이 잘 안나오는 추세지만
예전에 이런 문제가 나온적이 있었죠.
기억니시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
회로이론 특 0
분명 풀수있는데 이상한걸로 실수함 아오
-
병무청에서 점수계산 돌려봤는데 나머지 가산점 포함하면 95점인데 커트라인 보니까...
-
주말 얼버기 1
-
ㅇㅂㄱ 0
ㅎㅇ!
-
감기걸렸네 0
목 개아파
-
기상 0627 1
-
그래야 돼
-
3~4시에 자면 그냥 피곤하지 않나? 2시 넘어가면 특별한 사유 땜에 뻐팅기는거...
-
얼버기 1
안뇽
-
뉴런+기코 조합이 대세였다 이 말이야~ 22살 23학번 틀딱 기준
-
기차지나간당 1
부지런행
-
얼버기^^ 4
다시 잘꺼임
-
용서해주겠니
-
조언 구합니다 1
영어,사문,국어or수학으로 3합8 맞추려고 하는데 국어랑 수학은 공부를 안 해봐서...
-
연애하는 사람이 '비정상' 인것이다
-
꼬순내챺챺퍼리퍼리빔을맞아버리다 > 비정상인코스프레하는이세계퍼리헌터 이제 좀 건전해진듯
-
반수 결심햇더니 인 팔아버리누
-
21수능 이후 입시 끝낸 한의대생입니다 방학 하고 심심해서 들어와봤어요 ㅎㅎ 진로,...
-
제목 그대로입니다 제가 기숙학원 들어가기 전에 꼭 연락해야 할데가있는데 까먹고...
-
왜냐고? 나도 알고싶진않ㄷ았다
-
ㅠㅠ
-
메디컬급 씹괴수들도 영어1이 잘없는거 보니 평가원이 잘못한게 맞다ㅇㅇ
-
시원하네요 오늘
-
ㅁㅌㅊ? 높공임
-
그지에요
-
ㄹㅇ
-
야심한밤의ㅇㅈ 10
웨클릭?
-
몇년만에 재르비하니까 재밌당 ㅎㅎ
-
이해원 시즌 1 3
6평 범위임?
-
어차피 반수지만 1학기는 성실히 했다
-
들어오느라 수고했음 이제 나가셈
-
학점 3.17이다 에라잇 씨이팔~
-
아무거나 다 괜찮을 듯
-
롤 하면서 밤 새야 ..
-
내맘대로 할수있음
-
츄ㅣ르비 무물 20
다른고도 가능
-
의사여서 하고싶은게 아니라 힘든사람들을 도와주고 많은 사람의 인생을 볼 수 있다는게...
-
가끔 그때 생각이 많이 나요 최근에 여행을 못가서 그런가
-
편하게 쉬고 싶음 ..
-
수국케인 근황 7
양자컴 분야 대회 우승
-
낼 죽으면 5
마니 마셔서 그런것
-
나를좀가꾸고싶음 자꾸 이상 속의 나와 현실의 나 사이의 괴리감이
-
6모 32555 에서 현타 씨게옴 약 20일정도 12시간씩 공부하고 작년 모고 쳐봄...
-
무물할래 4
암거나 심심해
-
반갑다 6
난 A+ 5개 대학을 부시고있는 허푸린이다
-
진짜 크구나... 6모기준 수학 3점 실수 하나만 안 했어도 서성한 자연과학에서...
-
의대 증원 확정으로 인해 내년 의대 반수가 쉬울 거라고 예상하시고 행복회로 돌리시는...
-
취하느듯 1
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
문과생도 정말 재밋게 읽엇어요. 하나 배워갑니다아 국어5등급 이해안된다 ㅅㅂ...
요약좀
한줄로 요약하면
이것도 이해 안 가면 뒤지렴^^
이라고 써있어요
ㅇㄷ
닉값
아싸 내일 태풍오는데
그 지구과학하는 애들은 "태풍의 눈" 무조건알지......?
(아! 물론 생명 화학 물리 하는애들은 그냥 배우지 않아도 앎 ㅇㅇ)
거기 한번 뛰어 갔다 와볼께
진짜 거기는 바람 안부는지 확인하구 태풍의 눈 지나가고 바람에 휩쓸려 한번 뒤져봄 ㅇㅇ
보이려나 모르겠는 데 박재우선생님의 애제자 ㅊㄱ가 쉽게 설명해드릴게요
철구요?
2
안보일까바
굿굿 ^^
쌤 이루하에서 뵐때마다 인사하고싶은데 소심해서 못하겠어요ㅎㅎ 실물이 훨씬 나으신듯...?
그냥 인사해요 ^^
닉값굳굳
멋져유