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sos440 [104180] · MS 2005 · 쪽지

2012-03-20 09:26:04
조회수 1,040

이른 아침에 스리슬쩍 올려보는 간단한 적분 문제

게시글 주소: https://i1000psi.orbi.kr/0002837807

자연수 n과 0 ≤ k ≤ n 인 정수 k에 대하여, 함수 I(n, k)를

http://latex.codecogs.com/gif.latex?I(n,k)%20=%20\int_{0}^{1}%20{}_{n}\mathrm{C}_{k}%20x^k%20(1-x)^{n-k}%20\;%20dx

와 같이 정의합시다.

(1) 부분적분을 이용하여, 0 ≤ k < n 이면 항상



임을 보여라.

(2) 위의 사실로부터, 사실은 I(n) = I(n, k) 로 적을 수 있음을 알 수 있다. 이때

http://latex.codecogs.com/gif.latex?I(n)%20=%20\frac{1}{n+1}

임을 보여라. [힌트: 이항정리를 이용하면 편하다]

(3) a < b 인 실수 a, b와 자연수 m, n에 대하여 다음의 일반적인 적분공식이 성립함을 보여라:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{a}^{b}%20(x-a)^{m}(b-x)^n%20\;%20dx%20=%20\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}

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sos440 [104180]

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